Tensor tensión-energía y dependencia del sistema de coordenadas en la relatividad general

Nunca me ha gustado la analogía de la "caja".

En lugar de pensar en$T_{ab}$, me gusta pensar en$T_{a}{}^{b}$, que asigna vectores a vectores. Ahora, imagine probar este tensor con dos vectores, uno temporal$u^{a}$, y uno espacial$s^{a}$.

Entonces, el vector:

$$u^{a}T_{a}{}^{b}$$

describe la densidad de energía-momento que fluye a través del espacio-tiempo, mientras que el vector

$$s^{a}T_{a}{}^{b}$$

describe el flujo de presión que fluye a través del espacio-tiempo (tenga en cuenta que el componente de tiempo de esto será el impulso, pero esto es razonable, porque

$$\nabla_{b}\left(s^{a}T_{a}{}^{b}\right)=0 \rightarrow {\dot {\vec p}} = {\vec \nabla} \cdot {P_{ij}}$$

(disculpe algún abuso de índice en esta discusión heurística), lo cual tiene sentido a partir de la mecánica de fluidos ordinaria).

La razón por la que prefiero esta interpretación es que hace que la conexión con la mecánica clásica ordinaria sea mucho más clara y es mucho más coherente con la forma en que las personas construyen tensores de tensión-energía cuando intentan establecer un IVBP para la ecuación de Einstein.

Debe distinguir entre el concepto de un tensor y su representación en un sistema de coordenadas particular.

El concepto de tensor de tensión es una transformación (lineal) entre un elemento infinitesimal de una superficie (definido por su dirección normal) y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo si se corta en esa superficie. Esa transformación da el resultado correcto para cada elemento de superficie posible en un punto particular, cualquiera que sea su dirección normal, y es independiente de cualquier elección de sistema de coordenadas. De hecho, tiene que ser independiente del sistema de coordenadas, porque a las "leyes de la física" no les importa qué sistema de coordenadas uses para describirlas.

Por otro lado, la representación de un tensor (por ejemplo, como una matriz de números) depende de la elección del sistema de coordenadas, y para calcular algo en una situación física particular, por lo general algunas opciones de sistema de coordenadas son mucho más fáciles de trabajar. con que otros. Por ejemplo, una buena elección del sistema de coordenadas puede hacer que algunos coeficientes numéricos sean iguales a cero y/o puede capturar alguna simetría de la situación física de una manera conveniente.

No hay ninguna razón en particular por la que el sistema de coordenadas deba representar una "caja rectangular", aunque a menudo es conveniente hacer esa elección, ya que cada par de vectores base normalizados$\vec e_i$y$\vec e_j$entonces satisface$\vec e_i \cdot \vec e_j = \delta_{ij}$.