Tensor Electromagnético en Coordenadas Cilíndricas

Simplemente use el jacobiano de la transformación del sistema de coordenadas. Si sus coordenadas cartesianas son$\mu$y$\nu$y tus coordenadas cilíndricas son$\mu', \nu'$, entonces hay un jacobiano${f_\mu}^{\mu'}$que te permite escribir

$$F^{\mu' \nu'} = F^{\mu \nu} {f_\mu}^{\mu'} {f_\nu}^{\nu'}$$

donde el jacobiano viene dado por

$${f_\mu}^{\mu'} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}$$

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Eso está muy bien, pero puede que estés pensando que es un poco abstracto, y... lo es. Hay otra forma de hacer esto en su lugar, usando lo que se llama álgebra geométrica .

En álgebra geométrica, el tensor EM se llama bivector y toma la forma

$$F = F_{tx} e^t \wedge e^x + F_{ty} e^t \wedge e^y + \ldots = \frac{1}{2} F_{\mu \nu} e^\mu \wedge e^\nu$$

dónde$e^\mu$representan covectores base. Lo que hemos usado aquí se llama un producto de cuña , y los vectores de base ortogonales se anticonmutarán debajo de él.

Para extraer los componentes en una nueva base, tiene un par de opciones: (1) puede escribir los covectores de la base en términos de la base cilíndrica y simplificar. Entonces eso implicaría escribir$e^x$y$e^y$en términos de$e^\rho$y$e^\phi$. Esto es equivalente a encontrar el jacobiano inverso.

Sin embargo, hay otra opción (2), que es simplemente tomar el producto interno de los vectores base$e_\rho \wedge e_t, e_\phi \wedge e_t$y así sucesivamente con$F$. Esto requiere un poco más de conocimiento de álgebra geométrica, pero puedes escribir$e_\rho \wedge e_t$en términos de$e_x \wedge e_t, e_y \wedge e_t$, y así sucesivamente, lo que puede ser un cálculo más fácil.

Haré lo último aquí para demostrar la técnica. Mira eso$e^\rho = e^x \cos \phi + e^y \sin \phi$. Entonces podemos encontrar$F^{t \rho}$como:

$$\begin{align*}F^{t\rho} &= F \cdot (e^\rho \wedge e^t) \\ &= F \cdot (e^x \wedge e^t \cos \phi + e^y \wedge e^t \sin \phi) \\ &= F^{tx} \cos \phi + F^{ty} \sin \phi \end{align*}$$

Esto no es más exótico que encontrar los componentes de un vector en una nueva base encontrando la proyección del vector en cada nuevo vector base.