Cómo se transforman las velocidades de coordenadas cartesianas a polares

Considere una transformación de coordenadas cartesianas a polares$(x,y)\rightarrow (r,\theta)$,

$$\begin{equation} \begin{gathered} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta. \end{gathered} \end{equation}$$ Aquí, denotamos$x^{\,\mu}=(x,y)$y$\bar{x}^{\,\mu}=(r,\theta)$. Ahora, la pregunta es la siguiente,

En el$x^{\,\mu}$sistema de coordenadas, las componentes del vector velocidad son$(\dot{x},\dot{y})$. Averigüe los componentes en las coordenadas polares usando reglas de transformación de vector/tensor.

Mi respuesta:

De la transformación de coordenadas que tenemos,

$$\begin{equation} \begin{gathered} dx=\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta,\\ dy=\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta. \end{gathered} \end{equation}$$ De este modo, $$\begin{equation} \begin{gathered} \frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta=\frac{x}{r};\quad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta=-y,\\ \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta=\frac{y}{r};\quad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta=x. \end{gathered} \end{equation}$$ Los componentes transformados$\bar{V}^{\,\mu}=\bar{V}^{\,\mu}(x^{\,\alpha})$lee, $$\begin{align} \bar{V}^{\,\mu}=\frac{\partial\, \bar{x}^{\,\mu}}{\partial\, x^{\,\beta}}V^{\,\beta} \end{align}$$ Ahora para$\mu=1$, $$\begin{align} \bar{V}^{\,1}&=\frac{\partial\, \bar{x}^{\,1}}{\partial\, x^{\,\beta}}V^{\,\beta}\nonumber\\ &=\frac{\partial\, \bar{x}^{\,1}}{\partial\, x^{\,1}}V^{\,1}+\frac{\partial\, \bar{x}^{\,1}}{\partial\, x^{\,2}}V^{\,2}\nonumber\\ &=\frac{\partial r}{\partial x}V^{\,1}+\frac{\partial\, r}{\partial y}V^{\,2}\nonumber\\ &=\sec\theta V^{\,1}+\csc\theta V^{\,2}\nonumber\\ &=\frac{r}{x} V^{\,1}+\frac{r}{y} V^{\,2} \tag{1}\label{eq:comptransone} \end{align}$$ Ahora para$\mu=2$, $$\begin{align} \bar{V}^{\,2}&=\frac{\partial\, \bar{x}^{\,2}}{\partial\, x^{\,\beta}}V^{\,\beta}\nonumber\\ &=\frac{\partial\, \bar{x}^{\,2}}{\partial\, x^{\,1}}V^{\,1}+\frac{\partial\, \bar{x}^{\,2}}{\partial\, x^{\,2}}V^{\,2}\nonumber\\ &=\frac{\partial \theta}{\partial x}V^{\,1}+\frac{\partial\theta}{\partial y}V^{\,2}\nonumber\\ &=-\frac{1}{r}\csc\theta V^{\,1}+\frac{1}{r}\sec\theta V^{\,2}\nonumber\\ &=-\frac{1}{y} V^{\,1}+\frac{1}{x} V^{\,2} \tag{2}\label{eq:comptranstwo} \end{align}$$

$$\begin{equation} \begin{gathered} \dot{x}=\cos\theta \dot{r}-r\sin\theta \dot{\theta},\\ \dot{y}=\sin\theta \dot{r}+r\cos\theta \dot{\theta}. \end{gathered} \end{equation}$$ Ahora, calculamos los componentes de velocidad en las coordenadas polares usando ecuaciones ($\ref{eq:comptransone}$) y ($\ref{eq:comptranstwo}$), $$\begin{align} v^{\,r}&=\sec\theta \dot{x}+\csc\theta\dot{y}\nonumber\\ &=\sec\theta\left(\cos\theta \dot{r}-r\sin\theta \dot{\theta}\right)+\csc\theta\left(\sin\theta \dot{r}+r\cos\theta \dot{\theta}\right)\nonumber\\ &= \dot{r}-r\tan\theta \dot{\theta}+\dot{r}+r\cot\theta \dot{\theta}\nonumber\\ &= 2\dot{r}-r(\tan\theta -\cot\theta) \dot{\theta} \end{align}$$ $$\begin{align} v^{\,\theta}&=-\frac{1}{r}\csc\theta \dot{x}+\frac{1}{r}\sec\theta \dot{y}\nonumber\\ &=-\frac{1}{r}\csc\theta \left(\cos\theta \dot{r}-r\sin\theta \dot{\theta}\right)+\frac{1}{r}\sec\theta \left(\sin\theta \dot{r}+r\cos\theta \dot{\theta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{r}\cot\theta\dot{r}+\dot{\theta}+\frac{1}{r}\tan\theta\dot{r}+\dot{\theta}\nonumber\\ &=2\dot{\theta}+\frac{\dot{r}}{r}(\tan\theta-\cot\theta) \end{align}$$

Pregunta actual: ¿Son correctas las ecuaciones anteriores que derivé? ¿No debería ser algo así como$v^r=\dot{r}$y$v^\theta=r\dot{\theta}$? ¿Dónde me estoy equivocando? Ayuda por favor.