Tensor de tensión de Maxwell en ausencia de un campo magnético

Question

Tensor de tensión de Maxwell en ausencia de un campo magnético

pafcu

Tengo algunos problemas para calcular el tensor de tensión en el caso de un campo eléctrico estático sin campo magnético. Siguiendo la derivación en Wikipedia,

Comience con la fuerza de Lorentz:
$F = q (mi + v \times B)$ $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$
Obtener densidad de fuerza
$F = ρ mi + j \times B$ $\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}$
Sustituir usando las leyes de Maxwell
$F = ϵ_{0} (\nabla \cdot mi) mi + \frac{1}{m_{0}} (\nabla \times B) \times B - ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t} \times B$ $\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}$
Reemplace algunos rizos y combine
$F = ϵ_{0} [(\nabla \cdot mi) mi + (mi \cdot \nabla) mi] + \frac{1}{m_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B] - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} {mi}^{2} + \frac{1}{m_{0}} B^{2}) - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (mi \times B)$ $\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \right] - \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)$
obtener el tensor
$σ_{i j} = ϵ_{0} ({mi}_{i} {mi}_{j} - \frac{1}{2} d_{i j} {mi}^{2}) + \frac{1}{m_{0}} (B_{i} B_{j} - \frac{1}{2} d_{i j} B^{2})$ $\sigma_{i j} = \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)$
Asumiendo B=0:
$σ_{i j} = ϵ_{0} ({mi}_{i} {mi}_{j} - \frac{1}{2} d_{i j} {mi}^{2})$ $\sigma_{i j} = \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right)$
Suponga una superficie plana con un campo perpendicular (dirección z)
$σ_{z z} = ϵ_{0} ({mi}^{2} - \frac{1}{2} {mi}^{2}) = \frac{ϵ_{0}}{2} {mi}^{2}$ $\sigma_{z z} = \epsilon_0 \left(E^2 - \frac{1}{2} E^2\right)=\frac{\epsilon_0}{2} E^2$

Esta es la fórmula dada en, por ejemplo, The Feynman Lectures in Physics vol. 2 (Página 31-14), y algunos otros libros de texto.

Sin embargo, esta derivación parece asumir un campo magnético hasta los pasos finales. Dado que la mayoría de los términos en la ec. 4 resultan del término inicial vx B (incluso aquellos que dependen solo de E, $(\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E}$ y $\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\epsilon_0 E^2$ ), estos no deberían estar presentes en mi caso, y de hecho la ecuación 4 debería ser tan simple como

F = ϵ_{0} [(\nabla \cdot mi) mi]

$\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E}\right]$

El cálculo tensorial no es mi punto fuerte. Para mí, no está claro cómo pasar de la ecuación 4 a la ecuación 5, y cómo la modificación de la ecuación 4 altera el tensor de tensión resultante. ¿Realmente seguirá siendo lo mismo que la ecuación 6? Me parece extraño que la eliminación de términos no afecte el resultado, pero esto parece ser lo que afirman muchos libros de texto. ¿O hay alguna razón por la cual el término inicial vx B no se puede eliminar, incluso cuando no hay campo magnético?

Respuestas (3)

Tensor de tensión de Maxwell en ausencia de un campo magnético

Frederic Brunner · Answer 1

El tensor de tensión se define de tal manera que al tomar su divergencia se vuelve a la densidad de fuerza (aparte del término del producto cruzado que corresponde a la derivada temporal del vector de Poynting). En el caso de $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ , tomamos la divergencia en notación de índice, es decir

F_{j} = \partial_{i} σ_{i j} = ϵ_{0} (\partial_{i} ({mi}_{i} {mi}_{j}) - \frac{1}{2} d_{i j} \partial_{i} ({mi}_{k} {mi}_{k})) = ϵ_{0} (\partial_{i} {mi}_{i} {mi}_{j} + {mi}_{i} \partial_{i} {mi}_{j} - \frac{1}{2} \partial_{j} ({mi}_{k} {mi}_{k})) .

$f_j=\partial_i\sigma_{ij}=\epsilon_0\left(\partial_i(E_iE_j)-\frac12\delta_{ij}\partial_i(E_kE_k)\right)=\epsilon_0\left(\partial_iE_iE_j+E_i\partial_iE_j-\frac12\partial_j(E_kE_k)\right).$

Para ver que esta expresión corresponde al primer término en su expresión 3., reformulamos esto en notación sin índice:

F = ϵ_{0} ((\nabla \cdot mi) mi + (mi \cdot \nabla) mi - \frac{1}{2} \nabla (mi \cdot mi)) .

$\mathbf{f}=\epsilon_0\left((\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E})\mathbf{E}+(\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}-\frac12\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{E}\cdot\mathbf{E})\right).$

Haciendo uso de la identidad

\frac{1}{2} \nabla (A \cdot A) = A \times (\nabla \times A) + (A \cdot \nabla) A

$\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} \left( \mathbf{A}\cdot\mathbf{A} \right) = \mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}$

y la ecuación de Maxwell (para $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ )

\nabla \times mi = 0,

$\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{E}=\mathbf{0},$

encontramos eso

F = ϵ_{0} (\nabla \cdot mi) mi .

$\mathbf{f}=\epsilon_0(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E})\mathbf{E}.$

De esto podemos ver que no importa en qué etapa de la derivación se omite el campo magnético.

Jold · Answer 2

Un método mucho más fácil sería encontrar el tensor de energía de tensión del campo electromagnético a partir de su definición:

T_{v}^{m} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial_{v} ϕ - L d_{v}^{m}

$T^\mu_{~~~\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi )}\partial_\nu \phi-\mathcal{L}\delta^\mu_{~~\nu}$

dónde $\phi$ es el campo cuya energía de estrés estás buscando, y $\mathcal{L}$ es la densidad lagrangiana del campo, es decir, en este caso la lagrangiana electromagnética. Entonces el tensor de tensión de Maxwell serán solo los componentes espaciales de $T_{\mu \nu}$ .

Ehhhh... Esto es un poco más complicado de lo que parece porque la aplicación ingenua de esta fórmula produce un tensor de energía de estrés que no es simétrico, y debe corregir esto agregando alguna parte libre de divergencia si no me equivoco.

mufrido · Answer 3

Puedes entrar de lleno en la relatividad especial, usando el bivector de Faraday $F = e_t \wedge E/c$ (ya que dijimos específicamente que no hay campo magnético).

El tensor tensión-energía siempre es

\underline{T} (a) = - \frac{1}{2 m_{0}} F a F = - \frac{1}{2 m_{0} C^{2}} {mi}_{t} mi a {mi}_{t} mi

$\underline T(a) = -\frac{1}{2\mu_0} FaF = -\frac{1}{2\mu_0 c^2} e_t E a e_t E$

Dejar $e_t e_t = -1$ y tomar $a = e_t$ .

\begin{aligned} \underline{T} ({mi}_{t}) & = - \frac{ϵ_{0}}{2} {mi}_{t} mi {mi}_{t} {mi}_{t} mi \\ = - \frac{ϵ_{0}}{2} {mi}_{t} mi (- 1) mi \\ = \frac{ϵ_{0}}{2} {mi}_{t} {mi}^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} \underline T(e_t) &= -\frac{\epsilon_0}{2} e_t E e_t e_t E \\ &= -\frac{\epsilon_0}{2} e_t E(-1)E \\ &= \frac{\epsilon_0}{2} e_t E^2 \end{align*}$

Por supuesto, si no sabe qué es el tensor de energía de estrés EM en primer lugar, eso puede no ser de mucha ayuda. En cuanto a su derivación, sabiendo que su campo es estático y sin ninguna contribución magnética, puede tirar todos los términos magnéticos (y derivados del tiempo) tan pronto como aparezcan. No hay razón para mantenerlos excepto para ahorrar trabajo más tarde (si espera que necesite una expresión más general para algún otro problema).

Mira eso $(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E = \frac{1}{2} \nabla E^2$ . Esto se sigue de la regla del producto. A partir de aquí, puedes imaginar que $\underline \sigma(\nabla) = f$ , dónde $\nabla$ actúa sobre los términos dentro del tensor de tensión.

Tensor de tensión de Maxwell en ausencia de un campo magnético

pafcu

Respuestas (3)

Frederic Brunner

Jold

usuario21299

mufrido

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