Relación entre derivadas de tensores en diferentes sistemas de coordenadas cartesianas

Question

Relación entre derivadas de tensores en diferentes sistemas de coordenadas cartesianas

Física
diferenciación
cálculo tensorial
sistemas coordinados
deberes-y-ejercicios

Lucas__

Soy nuevo en el cálculo tensorial: estoy leyendo un pequeño libro introductorio cuyo título es "Introducción rápida al análisis tensorial", escrito por RA Sharipov. He llegado a la sección llamada diferenciación de campos tensoriales. Allí el autor explica cómo se pueden diferenciar los tensores, distinguiendo dos casos:

con respecto a los parámetros externos
con respecto a las variables espaciales (usadas como argumentos de la función tensorial)

al explicar el segundo caso se dice un teorema (que se cumple solo para sistemas de coordenadas cartesianas): "para cualquier campo tensorial $X$ de tipo $(r, s)$ derivadas parciales (21.3) con respecto a variables espaciales $x^1, x^2, x^3$ en cualquier sistema de coordenadas cartesianas representan otro campo $Y$ de tipo (r, s+1)":

(21.3)

Y_{q, j_{1}, \dots, j_{s}}^{i_{1}, \dots, i_{r}} = \frac{\partial X_{j_{1}, \dots, j_{s}}^{i_{1}, \dots, i_{r}}}{\partial X^{q}} \Rightarrow Y_{q, j_{1}, \dots, j_{s}}^{i_{1}, \dots, i_{r}} = \nabla_{q} X_{j_{1}, \dots, j_{s}}^{i_{1}, \dots, i_{r}}

$Y^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, j_s} = {\partial X^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, j_s} \over \partial x^q} \Rightarrow Y^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, j_s} = \nabla_q X^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, j_s}$

dónde

\nabla_{q} = \frac{\partial}{\partial X^{q}}

$\nabla_q = {\partial \over \partial x^q}$

Se sugiere entonces el siguiente ejercicio: "Demostrar el teorema. Para ello considerar otro sistema de coordenadas cartesianas $\tilde{x}^1, \tilde{x}^2, \tilde{x}^3$ relacionado con $x^1, x^2, x^3$ a través de $x^i = S^i_j \tilde{x}^j + a^i$ y $\tilde{x}^i = T^i_j x^j + \tilde{a}^i$ (dónde $a^i$ es la i-ésima componente del vector de traducción de $O$ a $\tilde{O}$ y $\tilde{a}^i$ es la i-ésima componente del vector de traducción de $\tilde{O}$ a $O$ , $O$ y $\tilde{O}$ siendo los orígenes de los dos sistemas de coordenadas). Luego, en el nuevo sistema de coordenadas, considere las derivadas parciales

{\tilde{Y}}_{q, j_{1}, \dots, j s}^{i_{1}, \dots, i_{r}} = \frac{\partial {\tilde{X}}_{j_{1}, \dots, j s}^{i_{1}, \dots, i_{r}}}{\partial {\tilde{X}}^{q}}

$\tilde{Y}^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, js} = {\partial {\tilde{X}^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, js}} \over \partial \tilde{x}^q}$ y derivar las relaciones que unen esta derivada parcial anterior y (21.3)"

He luchado tratando de encontrar una solución a este ejercicio, pero ni siquiera estoy seguro de haber entendido realmente lo que está preguntando. ¿Alguien podría ayudarme?

PD Otra pregunta secundaria: ¿podría pensar en $\nabla_q X^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, j_s}$ como el producto de dos tensores, siendo uno $\nabla_q$ ?

Respuestas (1)

Relación entre derivadas de tensores en diferentes sistemas de coordenadas cartesianas

cita con la libertad · Answer 1

La expresión tensorial tiene diferentes realizaciones en diferentes sistemas de coordenadas. Por ejemplo, la expresión $T_{ij}$ tiene la regla de transformación:

T_{i^{'} j^{'}} = T_{i j} j_{i^{'}}^{i} j_{j^{'}}^{j}

$T_{i' j'} = T_{ij} J_{i'}^i J_{j'}^j$

Y de manera similar, la derivada también tiene una regla de transformación similar, tomemos, por ejemplo, una función dada en una de las coordenadas como $f(x,y)$ luego en otras coordenadas como $f(r(x,y) , \theta(x,y) )$ entonces:

\frac{\partial F (X (r, θ), y (r, θ))}{\partial r} = \frac{\partial X}{\partial r} \partial_{X} F + \frac{\partial y}{\partial r} \partial_{y} F

$\frac{\partial f(x(r,\theta) , y(r ,\theta) )}{\partial r} = \frac{\partial x}{\partial r} \partial_x f + \frac{\partial y}{\partial r} \partial _y f$

Verá que la regla para derivar también se transforma. En general:

\frac{\partial}{\partial X^{i^{'}}} = j_{i^{'}}^{i} \frac{\partial}{\partial X^{i}}

$\frac{\partial}{\partial x^{i' } } =J_{i'}^i \frac{\partial }{\partial x^i}$

El primo denota las nuevas coordenadas 'indexadas'. Entonces, todo lo que el ejercicio le pide que haga es ingresar la expresión de la expresión tensorial transformada en coordenadas cartesianas y evaluar la derivada.

Nota: $J_{i'}^i$ denota la matriz jacobiana. Si el índice es superior, hay una regla de transformación jacobiana diferente.

Usaré la notación de Pavel para resolver esto, comenzamos con las ecuaciones dadas:

X^{i^{'}} = T_{j}^{i} X^{j} + a^{i^{'}}

$x^{i'}= T_j^i x^j + a^{i'}$

Supongo que el vector de desplazamiento es constante y diferencié ambos lados con $x^p$ asumiendo $T_j^i$ es una constante:

\frac{\partial X^{i^{'}}}{\partial X^{pag}} = T_{j}^{i} \frac{\partial X^{j}}{\partial X^{pag}}

$\frac{\partial x^{i'} }{\partial x^p} = T_j^i \frac{\partial x^j}{\partial x^p}$

Ahora, $\frac{\partial x^j}{\partial x^p} = \delta_p^j$ y con contracción en el kronceker:

\frac{\partial X^{i^{'}}}{\partial X^{pag}} = T_{pag}^{i}

$\frac{\partial x^{i'} }{\partial x^p} = T_p^i$

Índices de reetiquetado $( p \to i)$ y recordando la definición de jacobiano:

j_{i}^{i^{'}} = T_{i}^{i^{'}}

$J_{i}^{i'} = T_{i}^{i'}$

De manera similar podemos encontrar el jacobiano inverso $J_{i'}^i$ .. ahora es simplemente una cuestión de conectar los términos jacobianos para la transformación:

Y_{i_{1}^{'}, i_{2}^{'}, . . . i_{norte}^{'}}^{j_{1}^{'}, j_{2}^{'} . . ., j_{norte}^{'}} = Y_{i_{1}, i_{2} . . ., i_{norte}}^{j_{1}, j_{2} . . ., j_{norte}} j_{i_{1}^{'}}^{i_{1}} j_{i_{2}^{'}}^{i_{2}} . . . j_{i_{norte}^{'}}^{i_{norte}} j_{j_{1}^{'}}^{j_{1}} . . . j_{j_{norte}^{'}}^{j_{norte}}

$Y_{i_1',i_2',...i_n'}^{j_1',j_2'...,j_n'} = Y_{i_1,i_2...,i_n}^{j_1,j_2...,j_n} J_{i_1'}^{i_1} J_{i_2'}^{i_2}...J_{i_n'}^{i_n} J_{j_1'}^{j_1}... J_{j_n'}^{j_n}$

Sin embargo, deseo hacer el mismo comentario que el pdf hace aquí:

Advertencia 21.1. El teorema 21.1 y la igualdad (21.5) son válidos solo para sistemas de coordenadas cartesianas. En coordenadas curvilíneas las cosas son diferentes.

Puede encontrar esta pregunta mía y el enfoque de pavel aquí más fácil

Mi redacción puede haber sido pobre... sin embargo, si puede, intente consultar el libro de cálculo Tensor de Pavel Grinfeld. el lo explica mejor que yo
Gracias por tu tiempo y esfuerzo en responderme. Intentaré usar tu explicación para probar el teorema y te avisaré en caso de que surjan otros problemas. Una cosa más: soy un estudiante de secundaria que está interesado en comprender la física de nivel superior, ¿me recomendaría comprar el libro que ha mencionado para comprender más sobre los tensores, está en un nivel tentador para un estudiante de secundaria?
Hola amigo, yo también estaba en un entorno similar cuando comencé y diré que sí. Hay conferencias para acompañar el libro. @Luke__ en YouTube. Hay otro libro que me recomendaron (pero no he empezado) que me pareció bien se llama John Baez Gauge Fields Knots and Gravity. Lo hojeé y parecía bastante simple. Siéntete libre de entrar en mi chat si quieres más detalles.
¡Gracias de nuevo por su apoyo! Intenté continuar con el problema usando su sugerencia y, lo que creo que logré probar es que el nuevo objeto obtenido al diferenciar el tensor, es en realidad un nuevo tensor: $\tilde{Y}^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, j_s} = (T^{i_1}_{h_1} \cdots T^{i_r}_{h_r} S^{k_1}_{j_1} \cdots S^{k_s}_{j_s} S^p_q) Y^{h_1, \cdots, h_r}_{p, k_1, \cdots, k_s}$ . Esto, creo, prueba que la naturaleza de $Y$ es tensorial, pero ¿cómo es posible demostrar que $Y$ tiene una valencia de $(r, s+1)$ , mientras $X$ es de tipo $(r, s)$ ?
Hola, la derivada agrega un índice más al tensor@Luke_. Revisé el pdf ahora, es la primera declaración en esa página
Hola Luke, he revisado la respuesta. Avísame si te ayudó a resolver el problema por completo ahora @Luke_
Disculpa la demora con la que te respondo, tuve un par de días muy densos. De todos modos, he vuelto a leer tu respuesta y debería ser mucho más claro para mí. Gracias de nuevo.
PD: Realmente creo que voy a comprar ese libro del que hablas, incluso porque hace un tiempo me topé, sin darme cuenta, con la serie de videos del autor del libro en youtube. En ese momento me resultó muy difícil de entender para alguien que se acercaba a los tensores por primera vez. Mi esperanza es que el libro pueda ser mucho más claro y hablador.
Ah, sí, de hecho, convencí a uno de mis amigos que no había hecho cálculo multivariable para que probara ese libro y hoy terminó el capítulo. Estoy seguro de que te gustará también. Sin embargo, creo que la formulación de formas diferenciales del cálculo tensorial es mejor. Mira esta lista de reproducción
Y por cierto, si algo no está claro en la respuesta, solo comente y lo aclararé @Luke__

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