Integración de tensor para encontrar potencial

Tengo una pregunta dada como:

∂ k φ = − ( C k + D j k r j )
dónde C k & D j k son constantes y D j k es simétrico y sin trazas. tengo que encontrar φ .

Estoy obteniendo : φ = A − C k r k − D j k r j r k

pero la respuesta es: φ = A − C metro r metro − 1 2 D s metro r s r metro no tengo ni idea 1 2 término en la respuesta.

Respuestas (2)

¡Bienvenido a Física StackExchange!

Si consideras diferenciar el tercer término:

∂ i ( − 1 2 D j k r j r k )

Primero tire de las constantes puestas al frente:

− 1 2 D j k ∂ i ( r j r k )

Luego aplique la regla del producto a r j r k y mira lo que obtienes. Como esta es una pregunta de tarea, no iré más lejos y quiero que pruebes con esta pista, pero estoy feliz de agregar más si aún no lo entiendes.

si paso de la respuesta a la pregunta, entiendo que
1 2 D s metro ∂ k r s r metro = 1 2 D s metro ( r metro d k s + r s d k metro ) = 1 2 ( D k metro r metro + D k s r s ) = D j k r j
pero ¿cómo voy a empezar con la pregunta sólo que:
∫ ∂ r k   D j k r j
Correcto, ese es tu factor de la mitad ya que el término es cuadrático.
La integración de pozos es lo contrario de la diferenciación y normalmente se realiza mediante inspección. Esta es nuestra inspección que invertimos para obtener la mitad.
¡en efecto! Gracias por dar la bienvenida a la pila.
Eliminé mi último comentario al darme cuenta de que era incorrecto, disculpas por eso. Pero si lo que escribiste es correcto. Entonces, hay tres formas de lidiar con esto: 1) usar el teorema del gradiente e integrar por inspección como sugerí. 2) parametrizar la r a lo largo de la curva, cambiar las variables al parámetro e integrar y luego volver a sustituir por r. 3) expanda el producto interno (suma implícita sobre k) e integre como se explica en la respuesta de @Yepman.

Creo que su respuesta y la respuesta oficial son básicamente las mismas, pero usaron el hecho de que el tensor D es simétrico y hay un pequeño problema adicional en su solución. Dejame empezar por el principio:

∂ k ϕ = − D j k r j
esta expresión se puede escribir como:
∂ k ϕ = − 1 2 ∑ j ≠ k ( D j k r j + D k j r j ) − D k k r k
Donde acabo de usar simetría. Esto se integra fácilmente como:
A − 1 2 ∑ j ≠ k ( D j k r j r k + D k j r j r k ) − 1 2 D k k r k r k
Ahora bien, dado que cualquier término que no contiene r k es solo una constante en este momento puedes y restar esta cantidad a la expresión:
± ∑ s ≠ k metro ≠ k D s metro r s r metro
donde el término más entra en A y el menos te permite obtener la expresión exacta.

Por cierto, ¿cómo se cancela un término adicional?
± ∑ s ≠ k metro ≠ k D s metro r s r metro
No lo entiendo, ¿puedes explicarlo?
La constante de integración es en general una función de r i ≠ k y como muestran otros métodos, esta función debe ser una constante más la rama negativa de este término.
( A + ∑ s ≠ k metro ≠ k D s metro r s r metro ) − 1 2 ∑ j ≠ k ( D j k r j r k + D k j r j r k + ∑ s ≠ k metro ≠ k D s metro r s r metro )
¿Cómo se simplifica esto?@ChrisLong
Bueno, solo quise decir que dado que A puede ser cualquier cosa que no sea una función de r k solo puedes decir eso:
A + ∑ s ≠ k metro ≠ k D s metro r s r metro → A
Integración de tensor para encontrar potencial
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v