Derivación simple de las ecuaciones de Maxwell del tensor electromagnético

Comencemos considerando el tensor electromagnético F m v :

F m v = [ 0 − mi X / C − mi y / C − mi z / C mi X / C 0 − B z B y mi y / C B z 0 − B X mi z / C − B y B X 0 ]
Y ahora considere la ecuación de Maxwell:
∇ ⋅ mi → = ρ ε 0
∇ ⋅ B → = 0
∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t
∇ × B → = m 0 j → + m 0 ε 0 ∂ mi → ∂ t
La afirmación es que la primera y la cuarta ecuaciones son equivalentes a la siguiente ecuación tensorial:
∂ m F m v = m 0 j v
(dónde: j v = ( C ρ , j → ) ) y que la segunda y la tercera ecuaciones también son equivalentes a:
d F = 0
donde el d F es simplemente un atajo para escribir:
∂ λ F m v + ∂ v F λ v + ∂ m F v λ
Mi objetivo es probar, usando álgebra tensorial, que esta declaración es correcta: Comencemos, la primera parte de la declaración es fácil; si pensamos en el primer término:
∂ m F 1 = m 0 j 1
obtenemos:
1 C ( ∂ mi X ∂ X + ∂ mi y ∂ y + ∂ mi z ∂ z ) = m 0 C ρ   ⇒   ∇ ⋅ mi → = m 0 C 2 ρ   ⇒   ∇ ⋅ mi → = ρ ε 0
¡Maravilloso! Al aplicar el mismo proceso a los otros términos, podemos ver que esta ecuación tensorial también es igual a la cuarta ecuación de Maxwell.
Pensemos ahora en la segunda parte de la afirmación, la de d F ; esta vez podemos ver que el lado izquierdo de la ecuación del tensor es un tensor de rango tres, podemos pensarlo como una matriz 3D. Ahora: todos los términos de la matriz, según la ecuación, son iguales a cero, así que obtenemos 4 3 = 64 ecuación escalar que juntas deberían ser equivalentes a las dos ecuaciones de Maxwell restantes. Sin embargo, esto me parece una cantidad gigantesca de álgebra.

Pregunta: ¿Existe una forma mejor o más rápida de probar la exactitud de la declaración en cuestión?

obtenemos 4 × 3 = 12 ecuación escalar No sigo tu lógica. probablemente quisiste decir 4 3 = 64 ecuaciones Pero d F = 0 es en realidad sólo cuatro ecuaciones. Para obtener algo no trivial, tienes que elegir λ , m , y v ser índices diferentes , y solo hay cuatro formas de hacerlo. Simplemente escriba estas cuatro ecuaciones y vea que son las otras ecuaciones de Maxwell. Convéncete de que si los hay, si los índices son los mismos, d F = 0 reduce a 0 = 0 .
Tienes toda la razón, ya he editado mi pregunta.

Respuestas (3)

La forma más rápida es quizás usando álgebra exterior: comience escribiendo el tensor de Faraday como

F = mi X   d t ∧ d X + mi y   d t ∧ d y + mi z   d t ∧ d z + B X   d y ∧ d z + B y   d z ∧ d X + B z   d X ∧ d y

y luego sacamos la derivada exterior d F para obtener

d F = ∂ mi X ∂ y   d t ∧ d X ∧ d y + ⋯ + ∂ B X ∂ t   d t ∧ d y ∧ d z + ∂ B X ∂ X   d X ∧ d y ∧ d z + ⋯

y al igualar d F a 0, ves que, término por término, eso te da

∇ × mi + ∂ B ∂ t = 0 ∧ ∇ ⋅ B = 0 ,

Para obtener las otras dos ecuaciones, haz lo mismo con d ⋆ F + j = 0 , dónde ⋆ denota el Hodge-dual (es decir, si establece GRAMO = ⋆ F , entonces GRAMO tiene los componentes de B donde los de mi eran y los componentes de − mi donde los de B eran, o signos opuestos, no puedo recordar).

Puede abstraerse de esto y representar una forma 2 en términos de sus partes polar y axial, digamos F = ( mi , B ) . Luego, la derivada exterior te da una forma de densidad 3 que es dual del vector 1 ( ∇ ⋅ B , ∇ × mi + ∂ B ∂ t ) . con el canje ( mi , B ) ↦ ( B , − mi ) entonces obtienes la forma 3 d GRAMO con 1 vector dual ( − ∇ ⋅ mi , ∇ × B − ∂ mi ∂ t ) .

Básicamente tienes razón: hay mucha redundancia en la expresión y lo que pasa es que da lugar a muchas copias de las ecuaciones de Maxwell homogéneas. Pero la notación de índice puede ayudarte. Si mantiene los índices generales tanto como sea posible, entonces no necesita obtener todas las versiones repetidas una por una. Los obtienes todos a la vez.

Recomendaría proceder eligiendo primero un valor específico para dos de los índices, digamos elegir λ = 0 , y m = 1 , y mira lo que obtienes. Después de eso, no se limite a pasar a otro par de valores. Más bien, siéntate y piensa. Argumente que la simetría cíclica entre λ , m , v genera inmediatamente algunos resultados adicionales sin necesidad de cálculo. Además, cuando elija un valor espacial para un índice, digamos m = 1 , entonces el hecho de que se trate de una expresión tensorial garantiza que los resultados para 2 y 3 tendrá un resultado tal que se mantenga el carácter vectorial de los campos.

Creo que aprenderá más con este enfoque que invocando conceptos matemáticos sofisticados que aún no ha aprendido.

La pregunta se vuelve más lineal si consideramos la génesis del tensor electromagnético. Ecuaciones de Maxwell homogéneas (escritas aquí en el sistema de Gauss)

∇ ⋅ B = 0 ∇ × mi + 1 C ∂ B ∂ t = 0

permitir la definición de potenciales electromagnéticos (a menos que sea una transformación de calibre)

B = ∇ × A mi = − ∇ Φ − 1 C ∂ A ∂ t

Con estas cantidades se puede formar el cuadrivector de potencial electromagnético

A m = ( Φ , − A )

Por definición, el tensor electromagnético es la curvatura del potencial electromagnético. A m

F α β = ∂ α A β − ∂ β A α

En términos de componentes, toma la conocida forma matricial

F α β = ( 0 + mi X + mi y + mi z − mi X 0 − B z + B y − mi y + B z 0 − B X − mi z − B y + B X 0 )

Por lo tanto puedes escribir que

∂ γ F α β = ∂ γ ∂ α A β − ∂ γ ∂ β A α ∂ β F γ α = ∂ β ∂ γ A α − ∂ β ∂ α A γ ∂ α F β γ = ∂ α ∂ β A γ − ∂ α ∂ γ A β

Sumando las tres relaciones y teniendo en cuenta la invertibilidad del orden de las derivaciones, se obtiene la relación tensorial requerida

∂ α F β γ + ∂ β F γ α + ∂ γ F α β = 0

Supongamos que tenemos A y podemos probar que A implica B. Es bueno saberlo. Pero la pregunta aquí es, ¿la relación es uno a uno? ¿Es B una condición suficiente además de necesaria? En otras palabras, ¿B implica A? Para responder a tal pregunta no es suficiente simplemente mostrar que A implica B.
Tiene razón, pero mi objetivo era solo responder la pregunta en la parte inferior "¿Existe una forma mejor o más rápida de probar la exactitud de la declaración en cuestión?"
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