¿Cómo transformar el tensor de permitividad material de coordenadas cartesianas a otro sistema de coordenadas ortogonales?

Tengo un material especificado por un tensor de permitividad escrito en coordenadas cartesianas:

( ϵ X X ϵ X y ϵ X z ϵ y X ϵ y y ϵ y z ϵ z X ϵ z y ϵ z z )

Quiero escribir todas mis ecuaciones en coordenadas cilíndricas, por lo que también tengo que escribir el tensor de permitividad en coordenadas cilíndricas. ¿Cómo puedo hacer eso?

Hmm, supongo que usando una ley de transformación covariante ...
¿Simplemente desea escribir el tensor en términos de coordenadas cilíndricas, o también desea escribir los componentes en términos de vectores base cilíndricos?
@Muphrid Quiero usar el tensor transformado en las ecuaciones de Maxwell. Para la transformación, si los componentes eran funciones de ( X , y , z ) , entonces no fue suficiente escribir X , y , z en términos de ρ , θ , z , y hubo que hacer una transformación más complicada de los elementos del tensor.
Paisanco tiene razón. Consulte este artículo publicado en JOSAa < hal.archives-ouvertes.fr/hal-00831552/file/… >

Respuestas (1)

En coordenadas cilíndricas, los componentes del tensor se verían así

T r θ z = ( ϵ r r ϵ r θ ϵ r z ϵ θ r ϵ θ θ ϵ θ z ϵ z r ϵ z θ ϵ z z )  

Dado que ambos sistemas de coordenadas son ortogonales, la transformación de su tensor cartesiano T X y z a un tensor T r θ z sería dado por

T r θ z = q T T X y z q

con la matriz de transformación q es la misma matriz que usaría para transformar un vector de cartesiano a cilíndrico, es decir

q = ( porque ⁡ θ pecado ⁡ θ 0 − pecado ⁡ θ porque ⁡ θ 0 0 0 1 )  

y q T es la transposición de q .

Tenga en cuenta que esta discusión asume que el objetivo es resolver las ecuaciones de Maxwell no covariantes en coordenadas cilíndricas, despreciando la relatividad especial. Sería necesario un tratamiento más general del tensor de permitividad y su transformación si se resuelve la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell

Su q va de la base del vector unitario a los vectores unitarios. Eso no es lo que se suele hacer en el cálculo tensorial. ¿Crees que vale la pena entrar en eso?
El OP necesita calcular los vectores unitarios en coordenadas cilíndricas y usar la divergencia, el rotacional y el laplaciano en coordenadas cilíndricas para resolver las ecuaciones de Maxwell, pero la pregunta era cómo transformar el tensor.
Soy consciente de eso, pero estoy hablando de tu expresión para q : el campo eléctrico es un campo covectorial, por lo que la base natural para expresarlo son los covectores base: r ^ , θ ^ / r , z ^ . tu expresión para q no expresa el campo en términos de esta base; no está mal, pero siento que es digno de algún comentario.
@Muphrid Su punto es más general, pero el OP no dijo si el problema era resolver las ecuaciones covariantes de Maxwell o la forma tridimensional "E&M junior". Había asumido lo último por el contexto de la pregunta, ¿quizás el OP pueda comentar?
@Muphrid Se agregó edición a mi respuesta para abordar sus puntos de que se necesitaría un tratamiento más general si se resuelven las ecuaciones covariantes de Maxwell.
@bogeyc Gracias por la respuesta. El contexto es la óptica y la ingeniería de microondas. Así que creo que está bien. ¿Cuál es la diferencia en el caso que mencionaste?
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