Especificación del estado de polarización de un fotón, un haz de luz polarizado clásico y conexión con E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

Question

Especificación del estado de polarización de un fotón, un haz de luz polarizado clásico y conexión con E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

fotones
Física
polarización
teoría cuántica de campos
teoría clásica del campo
electrodinámica-clásica

SRS

En Electrodinámica Clásica, el estado de polarización de una onda electromagnética monocromática se especifica por la dirección del campo eléctrico. Por ejemplo, $\textbf{E}=\textbf{E}_0\cos(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)$ dónde $\textbf{E}_0=E_0\hat{\textbf{x}}$ , representa una onda polarizada linealmente, polarizada a lo largo de $x-$ eje. Similarmente, $mi = {mi}_{0 X} \hat{X} porque (k \cdot r - ω t) + {mi}_{0 y} \hat{y} pecado (k \cdot r - ω t)$ $\textbf{E}=E_{0x}\hat{\textbf{x}}\cos(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)+E_{0y}\hat{\textbf{y}}\sin(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)$ representa una onda polarizada elípticamente donde la dirección del campo viene dada por $broncearse θ = \frac{{mi}_{y}}{{mi}_{X}} = \frac{{mi}_{0 y}}{{mi}_{0 X}} broncearse (k \cdot r - ω t) .$ $\tan\theta=\frac{E_y}{E_x}=\frac{E_{0y}}{E_{0x}}\tan(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t).$

-Así que aquí la polarización se especifica en términos de la dirección del campo eléctrico.

Por otro lado, el estado de polarización de los fotones individuales se especifica de manera diferente. uno escribe $A^\mu(x)$ en términos de los modos de Fourier como $A^{m} (X) = \sum_{λ = 0}^{3} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3 / 2} \sqrt{2 ω_{k}}} [ϵ_{λ}^{m} a_{λ} (k) {mi}^{- i k \cdot X} + ϵ_{λ}^{m *} a_{λ}^{†} (k) {mi}^{i k \cdot X}]$ $A^\mu(x)=\sum\limits_{\lambda=0}^{3}\int\frac{d^3\textbf{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_k}}[\epsilon_{\lambda}^{\mu}a_{\lambda}(k) e^{-ik\cdot x}+\epsilon_{\lambda}^{\mu *}a_{\lambda}^{\dagger}(k)e^{ik\cdot x}]$ dónde $\epsilon^\mu$ se llama cuatro vectores de polarización.

A partir de esto, utilizando la condición de calibre de Lorentz, se puede demostrar que para una dirección de propagación dada $\textbf{k}$ , $\textbf{k}\cdot\boldsymbol{\epsilon}=0$ , sólo dos componentes de $\epsilon^\mu$ son independientes Así, un fotón (cuantos de energía cuantificada) $A^\mu$ campo) se dice que tiene dos estados independientes de polarización.

-Aquí la polarización se especifica en términos de $\boldsymbol{\epsilon}$ .

El $(0,1)$ y $(1,0)$ representacin del grupo de Lorentz, se dice que corresponde a $\textbf{E}\pm i\textbf{B}$ . Estos también se conocen como fotón polarizado circularmente a la izquierda y fotón polarizado circularmente a la derecha. Lo que ahora da otra definición diferente de polarización.

-Aquí la polarización se especifica en términos de campo eléctrico y magnético.

Tenga en cuenta que he dado dos definiciones de polarización diferentes y aparentemente no relacionadas en 1 (donde el estado de polarización está especificado por la dirección del campo eléctrico ) y 2 (donde el estado de polarización está especificado por $\boldsymbol{\epsilon}$ ).

¿Por qué las definiciones de polarización son tan diferentes en la electrodinámica clásica y la teoría cuántica de campos? Creo que estas dos definiciones están relacionadas, pero no puedo ver la conexión.

¿Cómo encaja y se reconcilia la definición 3 con la definición de luz polarizada circularmente izquierda y derecha, como se encuentra en 1?

Respuestas (1)

Especificación del estado de polarización de un fotón, un haz de luz polarizado clásico y conexión con E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

Nombre AAAA · Answer 1

¿Por qué las definiciones de polarización son tan diferentes en la electrodinámica clásica y la teoría cuántica de campos? Creo que estas dos definiciones están relacionadas, pero no puedo ver la conexión.

Tenga en cuenta que en el enfoque QFT dado en su pregunta construimos el operador de campo de fotones libres a partir de representaciones irreducibles sin masa del grupo de Poincaré con helicidades $\pm 1$ , que es la proyección del momento angular completo en la dirección del momento $\mathbf{k}$ . Es decir, el campo eléctrico de un solo fotón tiene la helicidad dada. En la electrodinámica clásica (y, de hecho, siempre que las interacciones de muchos fotones son importantes) normalmente hablamos de la polarización de los campos eléctricos y magnéticos que se construyen a partir de muchos fotones, lo que no es lo mismo que la helicidad de un solo fotón.

¿Cómo encaja y se reconcilia la definición 3 con la definición de luz polarizada circularmente izquierda y derecha, como se encuentra en 1?

Las verdaderas condiciones para el campo sin masa de la helicidad. $+1$ es

\begin{matrix} (1) & F_{m v} = + i {\tilde{F}}_{m v}, \partial_{m} F^{m v} = 0 \end{matrix}

$\tag 1 F_{\mu\nu} = +i\tilde{F}_{\mu\nu}, \quad \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = 0$ mientras que para el campo sin masa de la helicidad

- 1

$-1$ es

\begin{matrix} (2) & F_{m v} = - i {\tilde{F}}_{m v}, \partial_{m} F^{m v} = 0, \end{matrix}

$\tag 2 F_{\mu\nu} = -i\tilde{F}_{\mu\nu}, \quad \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = 0,$ dónde

{\tilde{F}}_{μ ν} = \frac{1}{2} ϵ_{μ ν α β} F^{α β}

$\tilde{F}_{\mu\nu} =\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$ (la identidad de Bianchi se satisface automáticamente).

Simplemente resulta que la helicidad coincide con la polarización circular. Puedes probarlo usando $(1),(2)$ . Vamos a presentar la expansión. $F_{\mu\nu} = (\mathbf{E},\mathbf{B})$ , $\tilde{F}_{\mu\nu} = (-\mathbf B, \mathbf E)$ . Obtenemos

\begin{matrix} (3) & {mi}_{\pm} = \mp i B_{\pm}, \nabla \cdot {mi}_{\pm} = 0, \nabla \times B_{\pm} = \partial_{t} {mi}_{\pm} \end{matrix}

$\tag 3\mathbf E_{\pm} = \mp i\mathbf{B}_{\pm}, \quad \nabla \cdot \mathbf E_{\pm} = 0, \quad \nabla \times \mathbf B_{\pm} = \partial_{t}\mathbf E_{\pm}$ La segunda ecuación especifica la expansión en términos de vectores propios sin divergencia en el espacio de momentos:

{mi}_{\pm} (k, t) = {mi}_{\pm} (k) {mi}_{\pm} (t), k \cdot {mi}_{\pm} = 0, {mi}_{\pm}^{*} (k) \cdot {mi}_{\mp} (k) = 0, | {mi}_{\pm} (k) |^{2} = 1

$\mathbf{E}_{\pm}(\mathbf k,t) = \mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)E_{\pm}(t), \quad \mathbf k \cdot \mathbf{e}_{\pm} = 0, \quad \mathbf e_{\pm}^{*}(\mathbf k) \cdot \mathbf e_{\mp}(\mathbf k) = 0, \quad |\mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)|^{2} = 1$ A continuación, la primera ecuación de

(3)

$(3)$ insertado en el tercero da (hemos tenido en cuenta la relación de dispersión

ω = | k |

$\omega = |\mathbf{k}|$ )

[k \times {mi}_{\pm} (k)] {mi}_{\pm} (t) = \mp i k {mi}_{\pm} (k) {mi}_{\pm} (t)

$[\mathbf k \times \mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)]E_{\pm}(t) = \mp ik\mathbf{e}_{\pm}(\mathbf{k})E_{\pm}(t)$ Elijamos la dirección

k = (0, 0, k)

$\mathbf k = (0,0,k)$ , y escribe

e_{+} = (a, b, 0)

$\mathbf e_{+} = (a,b,0)$ ,

e_{-} = (c, d, 0)

$\mathbf e_{-} = (c,d,0)$ . Entonces obtendrás

(b, - a, 0) {mi}_{+} (t) = - i (a, b, 0) {mi}_{+} (t), (d, - C, 0) {mi}_{-} (t) = + i (C, d, 0) {mi}_{-} (t)

$(b,-a,0)E_{+}(t)= - i(a,b,0)E_{+}(t), \quad (d, -c,0)E_{-}(t) = +i(c,d,0)E_{-}(t)$ Para funciones arbitrarias

E_{\pm}

$E_{\pm}$ Tu obtienes

b = - i a, d = + i C

$b = -ia, \quad d = +ic$ Junto con la relación

| e_{\pm} |^{2} = 1

$|\mathbf e_{\pm}|^{2} = 1$ Obtienes (hasta unidad imaginaria)

{mi}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - i, 0), {mi}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, i, 0)

$\mathbf{e}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -i, 0), \quad \mathbf{e}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,i,0)$ Entonces, la expansión de la helicidad del estado de un fotón coincide con la expansión de las polarizaciones circulares.

¿Qué quieres decir con la ec. (1) y ec. (2)? El tensor electromagnético estándar $F_{\mu\nu}$ es una forma real de 2, y los duales de Hodge de formas reales son reales, escribiendo $F_{\mu\nu} = \mathrm{i}\tilde{F}_{\mu\nu}$ no tiene sentido (como es obvio a partir de la definición de $\tilde{F}$ das - no hay forma de que entre una unidad imaginaria).
@ACuriousMind: construyo la representación irreducible sin masa del grupo de Poincaré con helicidad $\lambda = \pm 1$ a partir de los espinores $A_{aa}, A_{\dot{a}\dot{a}}$ ecuaciones satisfactorias $\partial^{a \dot{a}} A_{a b} = 0, A_{a b} = A_{b a}, λ = + 1,$ $\partial^{a\dot{a}}A_{ab} = 0, \quad A_{ab} = A_{ba}, \quad \lambda = +1,$ $\partial^{a \dot{b}} A_{\dot{a} \dot{b}} = 0, A_{\dot{a} \dot{b}} = A_{\dot{b} \dot{a}}, λ = - 1$ $\quad \partial^{a\dot{b}}A_{\dot{a}\dot{b}} = 0, \quad A_{\dot{a}\dot{b}} = A_{\dot{b}\dot{a}}, \quad \lambda = -1$ La suma directa de helicidades $\pm 1$ repeticiones $(1, 0) \oplus (0,1)$ es equivalente al tensor real $F_{\mu\nu}$ . Pero este no es el caso cuando tenemos una sola helicidad.
No creo que esto responda a la preocupación de @ACuriousMinds. Si empezamos con formas reales, debemos quedarnos con formas reales. Si trabajamos en la complejización del grupo de Lorentz debemos volver a través de alguna condición de realidad después. Tal vez esto sea remediable con una identificación de $i$ con la unidad psuedo scaler via $dx$ ^ $dy$ ^ $dz$ ^ $dt$ ?
Es decir, mi pregunta es que la implicación aquí es que los campos polarizables circularmente reales no existen. Pero observamos polarización circular en la realidad, ¿no?

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craig

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