Prueba de simetrías del tensor de curvatura de Riemann

Question

Prueba de simetrías del tensor de curvatura de Riemann

usuario52205

estoy tratando de expandir

ε^{a b C d} R_{a b C d}

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}}$ usando cuatro identidades del tensor de curvatura de Riemann :

Simetría

R_{a b C d} = R_{C d a b}

$R_{{abcd}} = R_{{cdab}}$ Antisimetría primer par de índices

R_{a b C d} = - R_{b a C d}

$R_{{abcd}} = - R_{{bacd}}$ Antisimetría último par de índices

R_{a b C d} = - R_{a b d C}

$R_{{abcd}} = - R_{{abdc}}$ Ciclicidad

R_{a b C d} + R_{a d b C} + R_{a C d b} = 0

$R_{{abcd}} + R_{{adbc}} + R_{{acdb}} = 0$

Por lo que entiendo, los términos deberían cancelarse y debería terminar con is

ε^{a b C d} R_{a b C d} = 0.

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = 0.$

Lo que terminé fue este lío:

\begin{array}{l} ε^{a b C d} R_{a b C d} = R_{[a b C d]} = \frac{1}{4!} (\underset{- R_{d C a b}}{\underset{+ R_{C d a b}}{\underset{- R_{a b d C}}{\underset{+ R_{b a d C}}{\underset{- R_{b a C d}}{R_{a b C d}}}}}} + \underset{- R_{a d b C}}{\underset{+ R_{C b a d}}{\underset{- R_{C b d a}}{\underset{+ R_{b C d a}}{R_{d a b C}}}}} + \underset{- R_{a b d C}}{\underset{+ R_{d C b a}}{\underset{- R_{C d b a}}{\underset{- R_{d C a b}}{\underset{+ R_{b a d C}}{\underset{- R_{b a C d}}{\underset{+ R_{a b C d}}{R_{C d a b}}}}}}}} + \underset{+ R_{d a b C}}{\underset{- R_{C b d a}}{\underset{+ R_{C b a d}}{\underset{- R_{b C a d}}{R_{b C d a}}}}} - \underset{- R_{b d C a}}{\underset{+ R_{a C d b}}{\underset{+ R_{d b C a}}{\underset{- R_{d b a C}}{\underset{+ R_{b d a C}}{R_{a C b d}}}}}} - \underset{+ R_{a d b C}}{\underset{- R_{b C d a}}{\underset{+ {R_{b C a d}}_{}}{\underset{- R_{C b a d}}{R_{a d C b}}}}} - \underset{+ R_{a b C d}}{\underset{- R_{b a C d}}{\underset{+ R_{b a d C}}{R_{a b d C}}}} - \underset{+ R_{a b C d}}{\underset{- R_{a b d C}}{\underset{+ R_{b a d C}}{\underset{- R_{b a C d}}{R_{C d b a}}}}}) \end{array}

$\begin{array}{l} \varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = R_{\left[ {abcd} \right]} = \frac{1}{4!} \left( \underset{- R_{{dcab}}}{\underset{+ R_{{cdab}}}{\underset{- R_{{abdc}}}{\underset{{\color{dark green} + R_{{badc}}}}{\underset{- {\color{red} {\color{black} R_{{bacd}}}}}{{\color{blue} R_{{abcd}}}}}}}} + \underset{{\color{magenta} - R_{{adbc}}}}{\underset{{\color{red} + R_{{cbad}}}}{\underset{- R_{{cbda}}}{\underset{+ R_{{bcda}}}{{\color{magenta} {\color{black} R_{{dabc}}}}}}}} + \underset{- R_{{abdc}}}{\underset{+ R_{{dcba}}}{\underset{- R_{{cdba}}}{\underset{- R_{{dcab}}}{\underset{{\color{dark green} + R_{{badc}}}}{\underset{- R_{{bacd}}}{\underset{+ R_{{abcd}}}{R_{{cdab}}}}}}}}} + \underset{+ R_{{dabc}}}{\underset{- R_{{cbda}}}{\underset{{\color{red} + R_{{cbad}}}}{\underset{- {\color{blue} {\color{black} R_{{bcad}}}}}{{R_{{bcda}}}}}}} - \underset{- R_{{bdca}}}{\underset{{\color{blue} + R_{{acdb}}}}{\underset{+ R_{{dbca}}}{\underset{- R_{{dbac}}}{\underset{+ R_{{bdac}}}{R_{{acbd}}}}}}} - \underset{{\color{blue} + R_{{adbc}}}}{\underset{- R_{{bcda}}}{\underset{+ {\color{blue} {\color{black} R_{{bcad}}}}_{}}{\underset{{\color{red} - R_{{cbad}}}}{R_{{adcb}}}}}} - \underset{{\color{black} + R_{{abcd}}}}{\underset{- R_{{bacd}}}{\underset{{\color{dark green} + R_{{badc}}}}{R_{{abdc}}}}} - \underset{{\color{magenta} + R_{{abcd}}}}{\underset{- R_{{abdc}}}{\underset{{\color{red} {\color{dark green} + R_{{badc}}}}}{\underset{- {\color{red} {\color{black} R_{{bacd}}}}}{R_{{cdba}}}}}} \right) \end{array}$

donde puedo deshacerme de los términos azul o púrpura usando ciclicidad, pero estoy atascado porque no veo cómo puedo cancelar todos los términos. El principal problema parece ser que el último término en la identidad de ciclicidad

(R_{a C d b})

$\left( R_{{acdb}} \right)$ sólo se puede adquirir a partir del 5º plazo

(R_{a C b d})

$\left( R_{{acbd}} \right)$ en la expresión que tengo. Después de deshacerme de 6 términos con ciclicidad, estaba pensando que podría obtener lo que queda con alguna relación de simetría. ¿Estoy yendo por el camino equivocado aquí? ¿Necesito otra relación? Carroll en "Introducción a la relatividad general" dice en la ecuación 3.83 que todo lo que tengo que hacer es expandir la expresión para

R_{[a b C d]}

$R_{\left[ {abcd} \right]}$ y jugar con los índices usando las 4 identidades para probar que se reduce a cero.

Para aumentar la visibilidad, publiqué la misma pregunta en http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=4852429#post4852429 , pero aún no he recibido ninguna respuesta.

Respuestas (2)

Prueba de simetrías del tensor de curvatura de Riemann

petirrojo · Answer 1

Creo que solo es necesario usar la identidad cíclica. Contratando ambos lados con el Levi-Civita, deberíamos tener

\begin{matrix} (1) & 0 = (R_{a b C d} + R_{a d b C} + R_{a C d b}) ε^{a b C d} . \end{matrix}

$0 = (R_{abcd} + R_{adbc} + R_{acdb}) \varepsilon^{abcd} \tag{1}.$ Dejar

S = R_{a b c d} ε^{a b c d}

$S = R_{abcd}\varepsilon^{abcd}$ . Entonces

R_{a d b c} ε^{a b c d} = - R_{a d b c} ε^{a c b d} = R_{a d b c} ε^{a d b c} = S

$R_{adbc}\varepsilon^{abcd} = -R_{adbc}\varepsilon^{acbd} = R_{adbc}\varepsilon^{adbc} = S$ donde el último paso es cambiar el nombre de los índices ficticios. Con el mismo argumento el tercer término también es igual a

S

$S$ , por lo que (1) dice que

3 S = 0

$3S = 0$ .

Saksith Jaksri · Answer 2

En primer lugar, por definición de $\varepsilon$

ε^{a b C d} R_{a b C d} = ε^{a b C d} R_{a [b C d]} = cualquier simatrización de los índices de R

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = \varepsilon^{{abcd}} R_{{a[bcd]}} =\text{any symmatrization of the indices of $R$}$ Pero

\begin{array}{rcl} R_{a [b C d]} & = & \frac{1}{3!} {R_{a b C d} - R_{a b d C} + R_{a d b C} - R_{a d C b} + R_{a C d b} - R_{a C b d}}, \\ = & \frac{1}{3} {R_{a b C d} + R_{a d b C} + R_{a C d b}}, \\ = & 0 . (por la primera identidad de Bianchi) \end{array}

$\begin{eqnarray}R_{{a[bcd]}} &=&\frac{1}{3!}\bigg\{ R_{abcd}-R_{abdc}+R_{adbc}-R_{adcb}+R_{acdb} -R_{acbd} \bigg\}\;,\\ &=& \frac 1 3 \bigg\{ R_{abcd}+R_{adbc} +R_{acdb}\bigg\}\;,\\ &=& 0\;.\texttt{(by the first Bianchi identity)} \end{eqnarray}$ Entonces,

ε^{a b C d} R_{a b C d} = ε^{a b C d} R_{a [b C d]} = ε^{a b C d} \times 0 = 0 . ◼

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = \varepsilon^{{abcd}} R_{{a[bcd]}} =\varepsilon^{{abcd}}\times 0=0\;.\quad\quad\quad\blacksquare$

Prueba de simetrías del tensor de curvatura de Riemann

usuario52205

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