Algoritmo paso a paso para resolver las ecuaciones de Einstein

Question

Algoritmo paso a paso para resolver las ecuaciones de Einstein

xaxa

No puedo entender completamente cuál es un método regular para resolver las ecuaciones de Einstein en GR cuando no hay sugerencias útiles como la simetría esférica o la independencia del tiempo.

Por ejemplo, ¿cómo se puede derivar la métrica de Schwarzschild a partir de coordenadas arbitrarias? $x^0, x^1, x^2, x^3$ ? Ni siquiera entiendo la forma del tensor de tensión-energía en tal caso; obviamente, debería ser proporcional a $\delta(x - x_0(s))$ , dónde $x_0(s)$ es la línea de mundo de una partícula parametrizada, pero si la métrica se desconoce de antemano , ¿cómo obtengo $x_0(s)$ sin supuestos a priori?

Torsten Hĕrculĕ Cärlemän

Existe el método de perturbación que conduce a la métrica de campo débil.

xaxa

@TorstenHĕrculĕCärlemän, ¿qué hacer si el campo no es débil?

Torsten Hĕrculĕ Cärlemän

Bueno, siempre puedes ver las ecuaciones de campo como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales y resolverlas numéricamente. Por supuesto, habría simplificaciones como las identidades de Bianchi, etc.

xaxa

Eso es lo que no entiendo, por ejemplo, un sistema de masas de dos puntos, ¿cómo escribir el tensor de tensión-energía?

Selene Routley

No es mi campo, pero creo que las "singularidades" como las masas puntuales se reemplazan con soluciones analíticas (Schwartzschild, etc.) cerca de la masa y la simulación numérica se realiza en el espacio-tiempo discretizado fuera de esta región: la solución analítica establece las condiciones de contorno en la superficie delimitadora elegida que "elimina" la masa.

usuario23660

Mire el formalismo ADM para una descomposición 3+1 con ecuaciones explícitas de formulación/evolución del problema de Cauchy para la métrica. La versión más adecuada para cálculos numéricos se denomina formalismo BSSN .

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Algoritmo paso a paso para resolver las ecuaciones de Einstein

Existe el método de perturbación que conduce a la métrica de campo débil.
@TorstenHĕrculĕCärlemän, ¿qué hacer si el campo no es débil?
Bueno, siempre puedes ver las ecuaciones de campo como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales y resolverlas numéricamente. Por supuesto, habría simplificaciones como las identidades de Bianchi, etc.
Eso es lo que no entiendo, por ejemplo, un sistema de masas de dos puntos, ¿cómo escribir el tensor de tensión-energía?
No es mi campo, pero creo que las "singularidades" como las masas puntuales se reemplazan con soluciones analíticas (Schwartzschild, etc.) cerca de la masa y la simulación numérica se realiza en el espacio-tiempo discretizado fuera de esta región: la solución analítica establece las condiciones de contorno en la superficie delimitadora elegida que "elimina" la masa.
Mire el formalismo ADM para una descomposición 3+1 con ecuaciones explícitas de formulación/evolución del problema de Cauchy para la métrica. La versión más adecuada para cálculos numéricos se denomina formalismo BSSN .

Motl de Luboš · Answer 1

Motl de Luboš

Primero, no existe un algoritmo mecánico para resolver una ecuación diferencial general. Las ecuaciones de Einstein obviamente no son una excepción; de hecho, pertenecen a las ecuaciones más complicadas y menos "solubles" entre las que uno puede aprender. Las soluciones que se pueden escribir analíticamente solo existen en casos muy especiales, simples y/o simétricos (ecuaciones lo suficientemente simples que describen situaciones físicas lo suficientemente simples).

En segundo lugar, las ecuaciones de Einstein no determinan la métrica de forma única. Incluso con condiciones iniciales/de contorno bien definidas, solo determinan la solución (campo tensor métrico) hasta una transformación de coordenadas general (que puede estar determinada por 4 funciones $X^\mu(x^\nu)$ de las coordenadas antiguas). Significa que de los 10 componentes del tensor métrico simétrico, solo 6 funciones son realmente físicas independientes. Cuando imponemos 4 condiciones de "fijación de calibre" en el campo del tensor métrico, definimos efectivamente las coordenadas "correctas" y nos quedan 6 ecuaciones independientes para las 6 funciones restantes que determinan el tensor métrico como una función de las coordenadas. Las ecuaciones de Einstein son superficialmente 10 ecuaciones pero 4 de ellas (más precisamente 4 ecuaciones construidas a partir de las derivadas de estas ecuaciones y las propias ecuaciones), la divergencia covariante $\nabla_\mu (G^{\mu\nu} - K\cdot T_{\mu\nu})=0$ , se obedecen de manera idéntica para que no restrinjan la métrica.

En tercer lugar, la relatividad general también puede contener masas puntuales, las fuentes puntuales del campo gravitatorio que, de hecho, añaden una especie de función delta al tensor métrico. Si es así, la relatividad general es un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales parciales de Einstein que interactúan mutuamente y ecuaciones diferenciales ordinarias para las líneas universales que pueden parametrizarse, por ejemplo, mediante $t(x^i)$ o de otra manera (por ejemplo, usando un parámetro de tiempo auxiliar a lo largo de la línea universal, lo que requiere que tratemos con una redundancia de transformación de coordenadas unidimensional análoga a la de cuatro dimensiones anterior). Alternativamente, la materia puede describirse mediante campos electromagnéticos, Klein-Gordon, Dirac y otros. En ese caso, tratamos con un sistema acoplado de muchas ecuaciones diferenciales parciales: las ecuaciones de Einstein más las ecuaciones de Maxwell más la(s) ecuación(es) de Dirac y la(s) ecuación(es) de Klein-Gordon con varios términos fuente.

xaxa

No espero encontrar una solución analítica; no entiendo muy bien cómo plantear el problema para que sea un sistema completo de ecuaciones + condiciones de contorno. Habiendo elegido 4 restricciones en

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ ¿Cómo procedo para conectar coordenadas con

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ?

Motl de Luboš

Estimado xaxa,

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ y

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ y

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ son solo tensores, es decir, paquetes de 10 funciones de las cuatro coordenadas

x^{λ}

$x^\lambda$ ; los tensores de curvatura se expresan en términos del tensor métrico y sus derivados utilizando las fórmulas estándar. Entonces, las ecuaciones de Einstein son conjuntos de ecuaciones diferenciales parciales como cualquier otro conjunto. El hecho de que los tensores sean colecciones de funciones de coordenadas es cómo están "conectados" con las coordenadas: cualquier otra "conexión" en la que esté pensando probablemente significa que no comprende el concepto de una ecuación diferencial.

xaxa

Todo eso está muy bien, pero si se desconoce el significado de las coordenadas, ¿cómo puedo encontrar

T_{μ ν} (x)

$T_{\mu\nu}(x)$ ? Esta es una cuestión de conexión entre la física y las matemáticas. Por ejemplo, en coordenadas de Schwarzschild

r

$r$ es "distancia", sin embargo bajo el horizonte se convierte en "tiempo". Entonces , la afirmación física inicial de que la partícula puntual está en reposo en el origen no es correcta. Pero en este caso particular hay un principio "guía" de simetría esférica. ¿Qué es un procedimiento en el caso general?

Motl de Luboš

Estimado xaxa,

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ es simplemente otro campo tensorial, un conjunto de funciones de x. Se determina en términos de otros grados de libertad más fundamentales. Para el campo electromagnético, se expresa mediante la

F F

$FF$ productos, y de manera similar para otros campos. Para masas puntuales idealizadas,

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ tiene la forma de la masa multiplicada por la función delta localizada en el lugar correcto

x^{μ} (τ)

$x^\mu(\tau)$ , etcétera. Los grados de libertad más fundamentales, como

F_{μ ν} (x^{λ})

$F_{\mu\nu}(x^\lambda)$ o

x^{μ} (τ)

$x^\mu(\tau)$ ¡son funciones que también están restringidas por las ecuaciones diferenciales (análogas de Newton, Maxwell o Dirac)!

Motl de Luboš

Con respecto a su "ejemplo", una partícula "en reposo", si se describe en términos de campos como una geometría curva, significa que la geometría circundante es estática y la simetría de Schwarzschild es estática (tiene un vector Killing que es temporal en infinidad). También se puede "cortar" el espacio-tiempo alrededor de la partícula y reemplazarlo por el espacio plano con un tensor de energía de tensión equivalente de una masa puntual, y esa masa puntual está entonces en reposo en el sentido relativista especial. Todas estas afirmaciones son correctas dadas las definiciones correctas. No puedo resolver otros ejemplos porque cada "ejemplo" tiene una nueva respuesta.

Motl de Luboš

Debes entender lo simple - y realmente no veo por qué debería ser difícil - que

g_{μ ν} (x^{λ})

$g_{\mu\nu}(x^\lambda)$ ,

F_{μ ν} (x^{λ})

$F_{\mu\nu}(x^\lambda)$ ,

X^{μ} (τ)

$X^\mu(\tau)$ etc. son funciones de unos numeros de variables y la fisica te dice ecuaciones diferenciales que deben obedecer. Los objetos como

R_{μ ν} (x^{μ})

$R_{\mu\nu}(x^\mu)$ y

T_{μ ν} (x^{λ})

$T_{\mu\nu}(x^\lambda)$ se expresan como las conocidas funciones de los campos de la oración anterior y sus derivadas. Para completar un problema, también se deben especificar algunas condiciones iniciales y/o de contorno para los campos.

g, F, X (τ)

$g,F,X(\tau)$ etc. de la primera oración.

xaxa

Querido @Luboš, ¡HNY para ti! Parece que no entiendes bien mi pregunta. Entiendo qué es un tensor y cómo

G_{μ ν}

$G_{\mu\nu}$ se construye a partir de

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ . Mi pregunta es más sobre la dependencia de

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ en

x

$x$ . Incluso si tenemos un campo EM simple, de modo que

T

$T$ se construye a partir de

F

$F$ , todavía en algún lugar hay corrientes

j

$j$ y/o condiciones de contorno. Problema de ejemplo: dos cables están separados por la distancia

a

$a$ y corriente constante

j_{0}

$j_0$ flota a través de ellos. Pregunta: encontrar grav. campo.

xaxa

Sol: Si me encuentro en un sistema de coordenadas arbitrario, ¿cómo sé cuál es la distancia?

a

$a$ ? Lo es

Δ x^{1}

$\Delta x^1$ o

Δ x^{2}

$\Delta x^2$ o

\sqrt{(Δ x^{1})^{2} + (Δ x^{3})^{2}}

$\sqrt{(\Delta x^1)^2 + (\Delta x^3)^2}$ ? Ok, dices, elige

x

$x$ para que fuera

Δ x_{1}

$\Delta x_1$ . Pero esto funcionará solo si hay dos cables. ¿Qué pasa si tengo un millón de cables? solo hay 4 coordenadas... Para calcular la distancia medida por un haz de luz (o lo que sea) tengo que saber

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ de antemano Entonces este tipo de problema parece estar mezclado con las soluciones. ¿Cómo puedo estar seguro de que cada problema de este tipo tiene solución? como puedo escribir

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ?

Motl de Luboš

Querido @xaxa, eres tú quien habla de la cantidad

a

$a$ , ¡así que eres tú quien debe saber cómo se define! Probablemente te refieres a una longitud adecuada,

min \int d s

$\min\int ds$ , entre dos cables, ¿verdad? Pero un punto más importante es que uno no puede tener cables arbitrarios en ninguna parte. Como escribí, la ubicación de cada pieza de cable también está restringida por ecuaciones dinámicas (diferenciales) similares a las de Newton. Lo mismo es cierto para las ubicaciones y velocidades de las cargas y todas las demás cosas por el estilo.

Motl de Luboš

En particular, el campo tensorial

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ no se puede insertar arbitrariamente. Como también escribí, debe calcularse a partir de una teoría consistente de la "materia" que garantice

\nabla_{μ} T^{μ ν} = 0

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ porque la misma ecuación se cumple de manera idéntica , independientemente de la configuración del campo tensorial métrico, para el tensor de Einstein

G_{μ ν}

$G_{\mu\nu}$ ! Obtendrá un tensor de energía de tensión conservado covariantemente de las ecuaciones de Maxwell en el fondo y de otras "teorías completas", pero simplemente no puede imponer las ecuaciones de Einstein con "cualquier" campo

T_{μ ν} (x^{λ})

$T_{\mu\nu}(x^\lambda)$ .

Motl de Luboš

Esto es completamente análogo al caso no gravitatorio de las ecuaciones de Maxwell.

\partial_{μ} F^{μ ν} = j^{ν}

$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$ sólo puede imponerse por

j

$j$ obedeciendo

\partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu j^\mu=0$ , para una corriente conservada localmente, porque esta identidad puede derivarse diferenciando las ecuaciones de Maxwell con

F

$F$ con

\partial_{ν}

$\partial_\nu$ .

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Torsten Hĕrculĕ Cärlemän

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Selene Routley

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