¿Qué es la densidad de Euler?

La densidad de Euler es simplemente el integrando en$2n$dimensiones de la integral que es igual a la característica de Euler. La característica de Euler se puede escribir como la integral de la siguiente densidad de Euler en$2n$dimensiones:

$$E_{2n} = \frac{1}{2^n} R_{i_1 j_1 k_1 l_1} \dots R_{i_n j_n k_n l_n} \epsilon^{i_1 j_1 \dots i_n j_n} \epsilon^{k_1 l_1 \dots k_n l_n}$$ Tenga en cuenta que para $n=1$es decir, en dos dimensiones, es lineal en el tensor de Riemann - y por lo tanto también en el escalar de Ricci (porque el tensor de Riemann está completamente determinado por el escalar de Ricci en 2D). En cuatro dimensiones, la densidad de Euler es cuadrática en el tensor de Riemann, y así sucesivamente.

El carácter de Euler, un "número regularizado de puntos en una variedad", también se puede calcular de muchas otras maneras, por ejemplo, para politopos sumando el número de caras, restando aristas, agregando vértices, etc. Para variedades agradables, solo es distinto de cero para variedades pares. Para superficies de Riemann bidimensionales orientables cerradas, viene dada por$2-2h$dónde$h$es el número de asas (el género también conocido como$g$). Se puede construir una variedad bidimensional general abierta / cerrada orientable / no orientable agregando$b$límites (circulares), es decir, agujeros y$c$crosscaps (agujeros con puntos antípodas identificados, creando una variedad no orientable) y la característica de Euler total es entonces

$$\chi = 2-2g - b - c.$$ Debes imaginar que si hay una función $L(\sigma^i)$dependiendo de las coordenadas sigma de la variedad tal que $L$tiene unidades de $U$, la integral de trayectoria $\int DL(\sigma^i)$tiene unidades de $U^\chi$dónde $\chi$es la característica de Euler: eso es lo que quise decir al decir que $\chi$es el número regularizado de puntos.

Entonces, la característica (o carácter) de Euler es posiblemente el invariante topológico más importante y elemental de una variedad. El hecho de que la integral de$E_{2n}$es un invariante topológico se puede ver calculando su variación que se anula (para cualquier variación de la métrica) - se reduce la derivada a algunas de las identidades estándar para el tensor de Riemann, especialmente las dos identidades de Bianchi que involucran antisimetrización (y, en un caso , una derivada).

La derivación de la traza del tensor tensión-energía se realiza para$d=2$en la "Teoría de cuerdas" de Polchinski, Volumen I. La ecuación (3.4.31) dice

$$T^a_a (\sigma) = -\frac{C}{12} R(\sigma)$$ dónde $R$es el escalar de Ricci, también interpretable como un múltiplo de la densidad de Euler. los $C$termina siendo una definición de la carga central. No conozco la forma general de una ecuación similar en $d$dimensiones, pero su forma exacta - al menos los parámetros - dependen de la teoría. Supongo que, en general, la traza es igual a alguna combinación lineal de la densidad de Euler y quizás algunos otros generadores además del tensor de tensión-energía.