¿Por qué no podemos elegir que el tensor de tensión en una CFT sea idénticamente simétrico?

El tensor de tensión para una teoría de campo conforme (o cualquier teoría cuántica de campo) se puede derivar de la acción$S$por la derivada funcional

$$T^{\mu \nu} ~=~ -\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu \nu}},\tag{2.193}$$

dónde$g_{\mu \nu}$es la métrica de fondo de la firma$(+,-,-,-)$. Esta fórmula para el tensor de tensión parece ser idénticamente simétrica, es decir

$$T^{\mu \nu} = T^{\nu \mu}$$ para cualquier configuración de campo en la integral de trayectoria, no solo aquellas que obedecen a las ecuaciones clásicas de movimiento.

Por otro lado, no veo cómo esto es consistente con la identidad de Ward (por ejemplo, ver Di Francesco et al, p. 107)

$$\langle (T^{\mu \nu} - T^{\nu \mu})X \rangle ~=~ -i \sum_i \delta(x - x_i) S_i^{\nu \mu} \langle X \rangle, \tag{4.66}$$

dónde$X$es algún producto de campos$\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)$, y el campo$\phi$se transforma internamente bajo una rotación infinitesimal$x^{\mu} \to x^{\mu} + \omega^{\mu} {\,}_{\nu} x^\nu$como$\phi \to \phi + \omega_{\mu \nu} S^{\mu \nu} \phi$.

Si$T^{\mu \nu}$era idénticamente simétrica, entonces ambos lados deberían ser iguales a cero.