Gran límite ccc y funciones de correlación conectadas en 2d2d2d QFT

Question

Gran límite ccc y funciones de correlación conectadas en 2d2d2d QFT

Física
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
teoría del campo conforme
tensión-energía-momentum-tensor

Bolín

EDITAR : Esta pregunta ha sido editada gracias a un comentario. Una de mis definiciones estaba equivocada, así que he reescrito toda la pregunta.

Estaba leyendo este artículo sobre $T \bar{T}$ deformaciones de $2d$ -QFTs en el avión. Todo está bien hasta el comienzo de la sección 3. Allí comienzan a hablar sobre el límite de una gran cantidad de grados de libertad. Esto significa una gran carga central $c$ en un CFT y algo similar para los QFT generales. Dicen algo como:

en el grande $c$ limitar las funciones de correlación de $T_{ij}$ factorizar ( $T_{ij}$ es el tensor de energía-momento en coordenadas euclidianas).

La contribución conectada a un $n$ -la función puntual de los tensores de energía-momento es proporcional a $c$ en general $c$ , de modo que cuando calculamos una función de correlación general y observamos la contribución a ella que es un producto de $k$ componentes conectados, entonces esto escalará como $c^k$ .

Asumiré que las funciones de correlación conectadas se definen de manera similar a las partes conectadas del $S$ -matriz en QFT I de Weinberg . Por ejemplo, para una función de 6 puntos del tensor energía-momento:

⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} T_{5} T_{6} ⟩ = ⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} T_{5} T_{6} ⟩_{C} + ⟨ T_{1} T_{2} T_{3} ⟩_{C} ⟨ T_{4} T_{5} T_{6} ⟩_{C} + permutaciones + ⟨ T_{1} T_{2} ⟩_{C} ⟨ T_{3} T_{4} ⟩_{C} ⟨ T_{5} T_{6} ⟩_{C} + permutaciones

$\langle T_1 T_2 T_3 T_4 T_5 T_6 \rangle = \langle T_1 T_2 T_3 T_4 T_5 T_6 \rangle_c \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \langle T_1 T_2 T_3 \rangle_c \langle T_4 T_5 T_6 \rangle_c + \text{permutations} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \langle T_1 T_2 \rangle_c \langle T_3 T_4 \rangle_c \langle T_5 T_6 \rangle_c + \text{permutations}$

No hay término como $\langle T_1\rangle_c \langle T_2 \rangle_c \langle T_3 \rangle_c \langle T_4 \rangle_c \langle T_5 \rangle_c \langle T_6 \rangle_c$ porque $\langle T_{ij} \rangle_c = \langle T_{ij} \rangle = 0$ (en el avión puede poner esto a cero). Nótese que esto implica $\langle T_{ij} T_{kl} \rangle_c = \langle T_{ij} T_{kl} \rangle$ .

PREGUNTA: ¿Por qué conectado $n$ Las funciones de puntos escalan como $c$ en general $c$ ? Quiero decir, ¿por qué lo siguiente es cierto para cualquier $n$ ?

⟨ T_{i_{1} j_{1}} T_{i_{2} j_{2}} . . . T_{i_{norte} j_{norte}} ⟩_{C} \underset{C \to \infty}{\propto} C .

$\langle T_{i_1 j_1} T_{i_2 j_2} ... T_{i_n j_n} \rangle_c \underset{c \rightarrow \infty}{\propto} c .$

Lo único que se me ocurre que relaciona las funciones de correlación del tensor de energía-momento y $c$ es la OPE

T (z) T (w) \sim \frac{C / 2}{(z - w)^{4}} + \frac{2 T (w)}{(z - w)^{2}} + \frac{\partial T (w)}{z - w} .

$T(z) T(w) \sim \frac{c/2}{(z-w)^4} + \frac{2 T(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T(w)}{z-w}.$

Esto funciona dentro de las funciones de correlación, y no sé cómo actuaría dentro de las funciones de correlación conectadas . Además, si este fuera el enfoque correcto, daría un factor de $c$ por cada par de $T$ s dentro del correlador. Por ejemplo

⟨ T (z_{1}) T (z_{2}) T (z_{3}) T (z_{4}) ⟩ \sim \frac{1 / 4}{(z_{1} - z_{2})^{4} (z_{3} - z_{4})^{4}} C^{2} .

$\langle T(z_1) T(z_2) T(z_3) T(z_4) \rangle \sim \frac{1/4}{(z_1-z_2)^4(z_3-z_4)^4} c^2.$

Lorenz Mayer

Creo que ya has dado las respuestas? Tomar un

2 n

$2n$ -correlador de puntos de

T

$T$ . Entonces las fórmulas que escribiste dicen

⟨ T_{1} \dots T_{2 n} ⟩ \sim ⟨ T_{1} T_{2} ⟩ ⟨ T_{3} T_{4} ⟩ \dots ⟨ T_{2 n - 1} T_{2 n} ⟩

$\langle T_1 \cdots T_{2n} \rangle \sim \langle T_1 T_2 \rangle \langle T_3 T_4 \rangle \cdots \langle T_{2n-1} T_{2n} \rangle$ .

Bolín

@LorenzMayer pero luego el correlador

⟨ T_{1} . . . T_{2 n} ⟩

$\langle T_1 ... T_{2n} \rangle$ escalaría como

c^{n}

$c^n$ , no como

c

$c$ (que es lo que dicen).

Lorenz Mayer

donde dicen eso en la página 7 en la parte inferior dicen que conectado

n

$n$ Las funciones de puntos escalan como

c^{n - 1}

$c^{n-1}$ . Quiero decir que esto no ayuda con sus problemas 2) y 3), pero 1) ¿debería aclararse con esto?

Bolín

creo que dicen

n

$n$ Las funciones de puntos escalan como

t^{n - 2} c^{n - 1}

$t^{n-2} c^{n-1}$ . Pero el grande

c

$c$ -límite en este documento es un límite similar a 't Hooft, manteniendo

t c

$tc$ constante. así que en realidad

t^{n - 2} c^{n - 1} \propto c

$t^{n-2} c^{n-1} \propto c$ , Como he dicho. Lo dicen explícitamente al final de la página 5.

Lorenz Mayer

mmm dicen que las funciones de correlación conectada escalan como

c

$c$ , de modo que las contribuciones a la

n

$n$ -funciones puntuales de

k

$k$ escala de partes conectadas como

c^{k}

$c^k$ . La contribución que escribí es para un

2 n

$2n$ -función puntual, es de

n

$n$ componentes conectados y escalas como

c^{n}

$c^n$ , que parece estar de acuerdo.

Bolín

Bueno no. Lo que dices es que tengo razón. En una función de correlación se obtiene un factor de

c

$c$ por cada par de

T

$T$ s. Ahora mis preguntas son: ¿por qué dicen conectado

n

$n$ Las funciones de puntos escalan como

c

$c$ y no

c^{n / 2}

$c^{n/2}$ ? ¿Y por qué se puede descomponer un

n

$n$ función de punto en

k

$k$ funciones de correlación conectadas?

Lorenz Mayer

Entonces tal vez entendí mal lo que estabas preguntando en la pregunta 1). Lo lamento. Pensé que estabas hablando de correladores, no de correladores conectados. Si no está seguro de cuál es la definición de un correlacionador conectado y por qué

n

$n$ -Las funciones puntuales deben ser descomponibles en

k

$k$ -componentes conectados: en el libro QFT de Weinberg, sección 4.3, se muestra cómo descomponer la matriz S (que es esencialmente la misma) en sus partes conectadas. Tal vez esto ayude. No lo he comprobado, pero el algoritmo que da allí junto con el OPE debería dar la escala correcta.

Bolín

Bien, gracias por la referencia. Ahora todo tiene más sentido, aunque todavía tengo dudas. He editado la pregunta.

Lorenz Mayer

Creo que el enlace al periódico está mal.

Bolín

Lo siento. Ya está arreglado, creo.

Respuestas (1)

Gran límite ccc y funciones de correlación conectadas en 2d2d2d QFT

Creo que ya has dado las respuestas? Tomar un $2n$ -correlador de puntos de $T$ . Entonces las fórmulas que escribiste dicen $\langle T_1 \cdots T_{2n} \rangle \sim \langle T_1 T_2 \rangle \langle T_3 T_4 \rangle \cdots \langle T_{2n-1} T_{2n} \rangle$ .
@LorenzMayer pero luego el correlador $\langle T_1 ... T_{2n} \rangle$ escalaría como $c^n$ , no como $c$ (que es lo que dicen).
donde dicen eso en la página 7 en la parte inferior dicen que conectado $n$ Las funciones de puntos escalan como $c^{n-1}$ . Quiero decir que esto no ayuda con sus problemas 2) y 3), pero 1) ¿debería aclararse con esto?
creo que dicen $n$ Las funciones de puntos escalan como $t^{n-2} c^{n-1}$ . Pero el grande $c$ -límite en este documento es un límite similar a 't Hooft, manteniendo $tc$ constante. así que en realidad $t^{n-2} c^{n-1} \propto c$ , Como he dicho. Lo dicen explícitamente al final de la página 5.
mmm dicen que las funciones de correlación conectada escalan como $c$ , de modo que las contribuciones a la $n$ -funciones puntuales de $k$ escala de partes conectadas como $c^k$ . La contribución que escribí es para un $2n$ -función puntual, es de $n$ componentes conectados y escalas como $c^n$ , que parece estar de acuerdo.
Bueno no. Lo que dices es que tengo razón. En una función de correlación se obtiene un factor de $c$ por cada par de $T$ s. Ahora mis preguntas son: ¿por qué dicen conectado $n$ Las funciones de puntos escalan como $c$ y no $c^{n/2}$ ? ¿Y por qué se puede descomponer un $n$ función de punto en $k$ funciones de correlación conectadas?
Entonces tal vez entendí mal lo que estabas preguntando en la pregunta 1). Lo lamento. Pensé que estabas hablando de correladores, no de correladores conectados. Si no está seguro de cuál es la definición de un correlacionador conectado y por qué $n$ -Las funciones puntuales deben ser descomponibles en $k$ -componentes conectados: en el libro QFT de Weinberg, sección 4.3, se muestra cómo descomponer la matriz S (que es esencialmente la misma) en sus partes conectadas. Tal vez esto ayude. No lo he comprobado, pero el algoritmo que da allí junto con el OPE debería dar la escala correcta.
Bien, gracias por la referencia. Ahora todo tiene más sentido, aunque todavía tengo dudas. He editado la pregunta.

Lorenz Mayer · Answer 1

Creo que puedo dar una pista para el conectado $4$ - función de punto que tal vez ayude a entender por qué debería ser cierto para el caso general. Para esta elección de cuatro puntos $z_1,z_2,z_3,z_4$ , dejar $z_{ij} = z_i - z_j$ y $T_i = T(z_i)$ . Entonces la función de cuatro puntos, en el límite $z_1 \rightarrow z_2$ y $z_3 \rightarrow z_4$ :

⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} ⟩ \sim ⟨ (⟨ T_{1} T_{2} ⟩ + 2 z_{12}^{- 2} T_{2}) (⟨ T_{3} T_{4} ⟩ + 2 z_{34}^{- 2} T_{4}) ⟩ + menos singular = = ⟨ T_{1} T_{2} ⟩ ⟨ T_{3} T_{4} ⟩ + 4 z_{12}^{- 2} z_{34}^{- 2} ⟨ T_{2} T_{4} ⟩ + menos singular .

$\langle T_1 T_2 T_3 T_4 \rangle \sim \langle ( \langle T_1 T_2 \rangle + 2 z_{12}^{-2} T_2)(\langle T_3 T_4 \rangle + 2z_{34}^{-2}T_4) \rangle + \text{less singular} = \\ = \langle T_1 T_2 \rangle \langle T_3 T_4 \rangle + 4 z_{12}^{-2} z_{34}^{-2} \langle T_2 T_4 \rangle + \text{less singular} \ .$

Se sigue para la función de correlación conectada

⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} ⟩_{C} \sim 4 z_{12}^{- 2} z_{34}^{- 2} ⟨ T_{2} T_{4} ⟩ + menos singular

$\langle T_1 T_2 T_3 T_4 \rangle_c \sim 4 z_{12}^{-2} z_{34}^{-2} \langle T_2 T_4 \rangle + \text{less singular}$

que es de orden $c$ .

como el $n$ -ésima función de correlación conexa se define por inducción, esta podría ser la forma más fácil de demostrarlo para funciones de correlación conexas generales.

Aquí también hay una referencia para estos cálculos de álgebra de operadores, en particular el capítulo 6.

Eso podría explicarlo. Sin embargo, no veo por qué puedes tratar cada $T_{ij}$ (en coordenadas euclidianas) como $T_{zz}$ (en coordenadas holomorfas). Quiero decir que estás usando la OPE $T_{zz} T_{zz}$ , pero igualmente podría tomar $T_{zz} T_{\bar{z} \bar{z}} \sim 0$ , y no obtendrías $c$ en absoluto.

Gran límite ccc y funciones de correlación conectadas en 2d2d2d QFT

Bolín

Lorenz Mayer

Bolín

Lorenz Mayer

Bolín

Lorenz Mayer

Bolín

Lorenz Mayer

Bolín

Lorenz Mayer

Bolín

Respuestas (1)

Lorenz Mayer

Bolín

Correlador de tensor de energía-momento y OPE

¿Por qué la función de correlación del tensor de energía-momentum desaparece como z−4z−4z^{-4} en 2D CFT?

Sin rastro del tensor de tensión-energía en d=2d=2d=2

Tensor de energía-momento en la teoría de campos conformes

Amplitudes de esfera de cuerda de 2 puntos

Funciones de correlación y conexión con las identidades de los barrios

Rastro de desaparición idéntica de TμνTμνT^{\mu\nu} y anomalía de rastro

Construyendo la identidad de Ward asociada a las corrientes conservadas

¿Cómo determinar la longitud de correlación cuando la función de correlación decae como una ley de potencia?

Derivación de OPE conforme en D>2