¿Tensor de energía del Lagrangiano de Einstein-Hilbert?

Siguiendo con mi pregunta anterior , me interesa entender una cantidad que surge en la derivación de las ecuaciones de Einstein allí descritas, que parece ser de naturaleza hamiltoniana.

Así es como veo la definición adecuada del hamiltoniano. Dado, por ejemplo, un Lagrangiano de una derivada$\mathcal{L}(q, \dot{q})$, podemos formar su variación con respecto a alguna derivación$\delta q$de la posición generalizada:

$$\delta \mathcal{L}(q, \dot{q}) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q} \delta q + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q},$$

suponga que el punto y el$\delta$conmutar e integrar por partes para obtener

$$\delta \mathcal{L} = \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right).$$

Si$\delta$pasa a ser la derivada del tiempo$d/dt$, entonces simplemente nos reorganizamos para obtener

$$\frac{d}{dt} \left( \mathcal{L} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \dot{q} \right) = \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \dot{q}$$

La expresión entre paréntesis a la izquierda es menos el hamiltoniano como se define típicamente (sin la sustitución de momentos generalizados por velocidades generalizadas, por lo tanto, energía). Esto muestra que para un no trivial ($\dot q \neq 0$) movimiento, las ecuaciones de movimiento se satisfacen si y sólo si se conserva el hamiltoniano, es decir, la conservación de la energía.

Ahora lo mismo en GR. De acuerdo con la derivación aquí , tenemos

$$\delta (\sqrt{-g} R) = \sqrt{-g} G_{ab} \, \delta g^{ab} + \partial_d \sqrt{-g}(g^{ac} \delta\Gamma^d_{\mathstrut ac} - g^{cd} \delta\Gamma^b_{bc})$$

Tomando$\delta = \partial/\partial x^e$, y usando la identidad$\sqrt{-g} \nabla_e A^e = \partial_e \sqrt{-g} A^e$referenciado en el artículo, obtenemos

$$\nabla_d \bigl(R\, \delta^d_e - (g^{ac} \partial_e\Gamma^d_{\mathstrut ac} - g^{cd} \partial_e\Gamma^b_{bc})\bigr) = G_{ab} \, \partial_d g^{ab}$$

De esta ecuación concluyo que la cantidad impar dentro de la derivada de la izquierda debería desempeñar el papel de un hamiltoniano. Basado en el hecho de que el hamiltoniano es la energía, y también que esta derivación es solo la derivación estándar del momento como la corriente de Noether conservada para las traducciones espaciales (como puede ver, si la ecuación de vacío de Einstein$G_{ab} = 0$sostiene, entonces el "Hamiltoniano" se conserva localmente), creo que el lado izquierdo debería ser la divergencia del tensor de energía-momentum. Reescribiéndolo con algunos aumentos de índice hechos explícitos:

$$\nabla_d g^{df}\bigl(R\,g_{ef} - (g^{ac} g_{df} \partial_e\Gamma^d_{\mathstrut ac} - \partial_e\Gamma^b_{bf})\bigr) = G_{ab} \, \partial_d g^{ab},$$

Supongo que mi pregunta es:

es el tensor$T_{ef} = g^{ac} g_{df} \partial_e\Gamma^d_{\mathstrut ac} - \partial_e\Gamma^b_{bf} - R\,g_{ef}$en algún sentido razonable, la "energía-momento de la gravedad", e igualmente, ¿es el hamiltoniano en algún sentido razonable? Además, sería bueno saber si tiene una forma más... expresiva.