Parámetros generales del tensor de energía de tensión en marco inercial local

No, seguramente no es posible escribir cada tensor general en términos de 7 parámetros. Claramente, el espacio de posibles tensores de tensión-energía es de 10 dimensiones en$d=4$(10 parámetros), por lo que no puede hacerlo de 7 dimensiones (7 parámetros). Las opciones especiales del tensor que mencionaste son isotrópicas en un marco: tratar$x,y,z$en pie de igualdad (son invariantes bajo un$SO(3)$). Pero los tensores generales de tensión-energía no son isotrópicos.

Siempre puede diagonalizar un tensor simétrico en$d=4$, es decir, reemplazarlo por 4 valores propios que puedo llamar$\rho, p_{xx}, p_{yy}, p_{zz}$. Sin embargo, los datos necesarios para especificar en qué sistemas de coordenadas el tensor se vuelve diagonal son equivalentes a un elemento de$SO(3,1)$– la transformación de Lorentz necesaria para cambiar de una base dada a la base de vectores propios de la matriz – que tiene los 6 parámetros restantes (la dimensión del grupo de Lorentz), por lo que si también desea recordar la información sobre las direcciones – y el hecho de que usted incluyó los componentes de$v^\mu$muestra que sí desea contarlos, entonces vuelve a los 10 parámetros.

Esto, por supuesto, se generaliza a$d$dimensiones. Un tensor simétrico tiene$d(d+1)/2$componentes que pueden descomponerse como$d$valores propios y$d(d-1)/2$elementos de una matriz antisimétrica cuya exponenciación da la rotación correcta o transformación de Lorentz para la cual el tensor se diagonaliza.