3-divergencia del vector de vorticidad en GR

En Cosmologías Relativistas (Ellis, Maartens, MacCallum), los autores afirman que (página 86, sección 4.7)

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i\dot{u}_i.\tag{A}$$ Aquí $u_i$es un campo vectorial temporal, $\dot{u}_i := u_{i;j}u^j$es la aceleración y la vorticidad $\omega_{ij} := h_i{}^kh_j{}^\ell u_{[k;\ell]}$ha sido definido, donde $h^{ij} := u^iu^j + g^{ij}$es el operador de proyección relativo a $u^i$(convención de firma similar al espacio) y los corchetes indican antisimetrización. Entonces $\omega^i := -\frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk}$, dónde $\varepsilon^{ijk\ell}$es el tensor de Levi-Civita (denotado por $\eta^{ijk\ell}$en el libro). finalmente $\overline{\omega^i{}_{;j}} := h^i{}_kh_j{}^\ell \omega^k{}_\ell$.

esta ecuacion$(A)$se supone que se deriva de la identidad de Ricci para$u_i$, pero debido a un error tipográfico no me queda claro exactamente cómo. Sin embargo, al intentar reproducirlo, encuentro que el lado derecho debería ser cero. Mi intento sigue a continuación.

De las definiciones tenemos$h^i{}_jh_i{}^k = u_ju^k + \delta_j{}^k = h_j{}^k$, de donde

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i{}_{;i} + u_iu^j\omega^i{}_{;j}.$$ Eligiendo un marco de co-movimiento obtenemos $u_iu^j\omega^i{}_{;j} = \gamma^j{}_{ik}u_ju^k\omega^i = -\omega^i\dot{u}_i$, que es una ecuación generalmente covariante, de donde $$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i{}_{;i} - \omega^i\dot{u}_i. \tag{1}$$ También de la definición tenemos $$\omega^i{}_{;i} = -\frac{1}{2}\left(u_{\ell;i}\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} + u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk;i}\right),$$ donde usamos el hecho de que el tensor de Levi-Civita tiene una derivada covariante que se desvanece. Ahora, desde $u_{i;j} = \overline{u_{i;j}} - \dot{u}_iu_j$Debemos tener $u_{\ell;i}\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} = -\dot{u}_\ell u_i\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} = u_i\varepsilon^{ijk\ell}\omega_{jk}\dot{u}_\ell$, entonces $$\omega^i{}_{;i} = \omega^i\dot{u}_i - \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk;i} \tag{2}$$

Finalmente, a partir de la identidad de Ricci para$u_i$($u_{i;[jk]} = \frac{1}{2}R_{i\ell kj}u^\ell$) contratando con$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}$obtenemos

$$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}R_{imkj}u^m = \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}R_{mijk}u^m = 0,$$ por la identidad cíclica (primera identidad de Bianchi), pero $u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{[i;j]k}$y como el tensor Levi-Civita sirve para proyectar ortogonalmente tenemos $u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}\omega_{ij;k}$De dónde $$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}\omega_{ij;k} = 0. \tag{3}$$

Combinatorio$(1)$,$(2)$, y$(3)$obtenemos

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = 0. \tag{B}$$

Sin embargo,$(A)$y$(B)$ciertamente parecen ser contradictorios. ¿Son conciliables o es$(A)$o$(B)$¿equivocado? Parece que no puedo encontrar ningún error en mis cálculos.