¿Temperatura negativa del horizonte de-Sitter?

estoy considerando el$4D$espacio-tiempo de-Sitter, en coordenadas estáticas (estoy usando$c = 1$y$k_{\text{B}} = 1$):

$$\begin{equation}\tag{1} ds^2 = (1 - \frac{\Lambda}{3} \, r^2) \, dt^2 - \frac{1}{1 - \frac{\Lambda}{3} \, r^2} \, dr^2 - r^2 \, d\Omega^2, \end{equation}$$ dónde$\Lambda > 0$es la constante cosmológica. Este espacio-tiempo tiene un horizonte alrededor de cualquier observador estático, en$r = \ell_{\Lambda} \equiv \sqrt{3 / \Lambda}$. Todo el volumen del espacio dentro de ese horizonte se calcula fácilmente a partir de la métrica anterior (no es $4 \pi \ell_{\Lambda}^3 / 3$): $$\begin{equation}\tag{2} \mathcal{V} = \pi^2 \ell_{\Lambda}^3, \end{equation}$$ y el área del horizonte es$\mathcal{A} = 4 \pi \ell_{\Lambda}^2$. El vacío tiene una densidad de energía y presión: $$\begin{align}\tag{3} \rho &= \frac{\Lambda}{8 \pi G}, & p &= -\, \rho. \end{align}$$ Por lo tanto, la energía del vacío dentro de todo el volumen del universo observable de-Sitter es $$\begin{equation}\tag{4} E = \rho \, \mathcal{V} = \frac{3 \pi \ell_{\Lambda}}{8 G}. \end{equation}$$ Tenga en cuenta que la entalpía es trivialmente 0 (¿qué significa eso?): $$\begin{equation} H = E + p \mathcal{V} = 0. \end{equation}$$

Ahora estoy considerando la primera ley de la termodinámica, comparando varios universos de-Sitter que tienen$\Lambda$(o$\ell_{\Lambda}$):

$$\begin{equation}\tag{5} dE = T \, dS - p \, d\mathcal{V} = T \, dS + \rho \, d\mathcal{V}. \end{equation}$$ Insertando (2) y (4) da lo siguiente: $$\begin{equation}\tag{6} T \, dS = -\, \frac{3 \pi}{4 G} \, d\ell_{\Lambda}. \end{equation}$$ Si$d\ell_{\Lambda} > 0$y$dS > 0$, esto implica una temperatura negativa! Si uso la entropía$S = \mathcal{A}/ 4 G$(tenga en cuenta que esta fórmula de entropía es muy controvertida para$\Lambda > 0$), entonces$dS = 2 \pi \ell_{\Lambda} \, d\ell_{\Lambda} / G$y $$\begin{equation}\tag{7} T = -\, \frac{3}{8 \, \ell_{\Lambda}}. \end{equation}$$ ¡Este resultado es desconcertante!

Ahora me pregunto si el$T \, dS$sería mejor reemplazar el término con el trabajo realizado por la tensión superficial en el horizonte, en su lugar:$T \, dS \; \Rightarrow \; -\, \tau \, d\mathcal{A}$(No estoy seguro de la señal adecuada delante de$\tau$). En este caso, obtengo la tensión del horizonte (¡no sé si esto tiene algún sentido!):

$$\begin{equation}\tag{8} \tau = \frac{3}{32 G \ell_{\Lambda}}. \end{equation}$$ Entonces, ¿el razonamiento anterior tiene errores? ¿Qué hay de malo en todo esto? Cualquier referencia que confirme que la temperatura del de-Sitter Horizon podría ser negativa, o que la entropía es realmente indefinida allí (o que$S = \mathcal{A} / 4 G$está mal en este caso)? ¿O debería el término de entropía$T \, dS$interpretarse realmente como el trabajo de tensión$-\, \tau \, d\mathcal{A}$en el horizonte en su lugar?

En (4) y (5), ¿es legítimo usar la energía dentro del horizonte solamente, excluyendo la parte exterior?

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EDITAR: La energía (4) es la energía del vacío dentro del horizonte. No tiene en cuenta la energía gravitacional. Ahora creo que es la energía de Komar en el mismo volumen lo que debería ser considerado. La integración da la siguiente energía de Komar dentro del volumen (2):

$$\begin{equation}\tag{9} E_K = -\, \frac{\ell_{\Lambda}}{G}. \end{equation}$$ Pero entonces, el problema con la temperatura sigue siendo el mismo: la temperatura es negativa si$d\ell_{\Lambda} > 0$(que es lo mismo que$d\Lambda < 0$) y asumir$dS > 0$(o$S = \mathcal{A}/ 4 G$, que puede ser falso para el espacio-tiempo de-Sitter).