t1t1t_1, t2t2t_2, t3t3t_3 Generadores hermitianos de SU(2)SU(2)SU(2)

Como se señaló en los comentarios, estas matrices son una base para la representación adjunta de$SU(2)$(la imagen de cuya representación es, como probablemente sepa,$SO(3)$) pero reetiquetado por una transformación de similitud$S$dónde:

$$S = \left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)$$

que funciona de la siguiente manera. Cambio la escala de sus tres t para que sean hermíticas sesgadas (por lo que son una base para el álgebra de Lie$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$) y también los reordeno para que,$(t_1, t_2, t_3)$es una base diestra (en el orden en que los tiene, no lo son):

$$t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ i & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix},\, t_2 = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \end{pmatrix},\, t_3=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Ahora tenemos los vectores de base estándar en el álgebra de Lie sobre los que actúa la representación adjunta:

$$s_1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right),\, s_2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right),\, s_3=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

entonces la transformación de similitud anterior hace el truco:$t_j = S s_j S^\dagger$.

Estas no son realmente análogas a las matrices de Pauli (como especulas), aunque todas las anteriores forman bases para una representación fiel del álgebra de Lie.$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$. Recuerde que la matriz de Pauli (multiplicada por$i$) El álgebra de mentira exponencialmente a$SU(2)$, mientras que todas las bases discutidas aquí se exponen a$SO(3)$, siendo el primero la doble portada del segundo .

Una última forma de pensar en este problema (esta es una buena manera de guardar la manga cuando te encuentras con representaciones raras, extrañas y excéntricas ocasionales), incluso si no puedes ver de inmediato que hay una transformación de similitud, es a través del Álgebra Envolvente Universal (ver la página de Wikipedia con este nombre) . Una vez que haya verificado (lo que hoy en día puede hacer en unos minutos con un software como Mathematica) que las relaciones de conmutación que cumplen las matrices dadas son efectivamente las de la$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$álgebra de mentira, sabe que la representación matricial que se le ha dado debe ser isomorfa a algún subconjunto del álgebra envolvente universal, a saber, el álgebra más libre posible atada por las relaciones de conmutación que definen el paréntesis de mentira. En el$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$caso, no es difícil mostrar (aunque no puedo poner mi mano en la prueba en este momento) que cada miembro$H$de tal álgebra lo más libre posible en este caso cumple la relación

$$H\,(H + r^2 I) = 0\quad\quad\quad(1)$$

dónde$I$es el elemento unitario del anillo y$r^2$algún real positivo, pero que solo en algunas representaciones matriciales del álgebra de Lie relevante tenemos la condición más fuerte :

$$H + r^2 I = 0\quad\quad\quad(2)$$

Entonces puede poner sus matrices en Mathematica y probar rápidamente que (1) se cumple pero (2) no. Así que esta es de hecho el álgebra envolvente universal, es decir, el$3\times3$álgebra matricial real$\mathfrak{so}(3)$en lugar de la más restringida de$2\times2$álgebra matricial$\mathfrak{su}(2)$. Por lo tanto, debe haber alguna transformación lineal entre el álgebra dada y el estándar.$3\times3$álgebra matricial real que preserva los corchetes de mentira. Se muestra fácilmente que esto debe ser una transformación de similitud.