Representaciones unitarias de SO(3)SO(3)SO(3) y so(3)so(3)so(3)

Según mi guión:
estados de la mecánica cuántica$ψ ∈ \mathcal H$cambia bajo una rotación $R ∈ \text{SO(3)}, \vec{x} \rightarrow R\vec{x}$de acuerdo a$ψ \rightarrow U(R)ψ$, mientras$U(R)$es una representación unitaria de$\text{SO(3)}$es, eso significa:

$$U: \text{SO(3)} \rightarrow \mathcal L(\mathcal H) = \{\text{linear transformation } \mathcal H \rightarrow \mathcal H\} = \text{GL}(\mathcal H,\mathcal H)$$ $$R \longmapsto U(R)$$
es un homomorfismo, es decir $U(R_1)U(R_2) = U(R_1R_2), U(1) = \mathbb I$que es unitario $U(R)^{-1} = U(R)^*$.

Las rotaciones infinitesimales son elementos.$Ω$del espacio tangente$T_{\mathbb I}SO(3) = \{\dot{γ}(0)|γ:[-ε,ε] \rightarrow \text{SO(3)}, γ(0) = \mathbb I\}$, dónde$γ(ε) = e^{εΩ} ∈ \text{SO(3)},γ(0) = e^{0Ω} = \mathbb I$, en$\text{SO(3)}$en el punto$\mathbb I$:

$$Ω = \frac{d}{dt}R(t)\bigg|_{t=0},$$
mientras $t \longmapsto R(t)$es una curva diferenciable en $\text{SO(3)}$a través de $R(0) = \mathbb I$.

Cada representación del grupo Lie de$\text{SO(3)}$en$\mathcal H$corresponde a una representación del álgebra de Lie de$\text{so(3)}$(pero no al revés):

$$U(Ω):= \frac{d}{dt}U(R(t))\bigg|_{t=0}.$$

La transformación$Ω \longmapsto U(Ω)$es un homomorfismo de$\text{so(3)}$ $(\alpha_1,\alpha_2 ∈ ℝ)$:

$$U(\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2) = \alpha_1U(Ω_1) + \alpha_2U(Ω_2)$$ $$U([Ω_1,Ω_2]) = [U(Ω_1),U(Ω_2)],$$ mientras que el último se sigue de $U(RΩR^{-1}) = U(R)U(Ω)U(R)^{-1} \quad (R ∈ \text{SO(3)}).$

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Quiero comprobar la última declaración, es decir, que$Ω \longmapsto U(Ω)$es un homomorfismo.
Preguntas de cálculo:
1) Si solo considero$\alpha_1U(Ω_1)$, entonces es correcto afirmar:

$$\alpha_1U(Ω_1) = \alpha_1 U(\frac{d}{dt}R_1(t)\bigg|_{t=0})$$ $$\alpha_1U(Ω_1) = \alpha_1\frac{d}{dt}U(R_1(t))\bigg|_{t=0},$$
simplemente insertando las definiciones?
2) Si esto es así, ¿puedo entonces concluir: $$U(\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2) = U(\frac{d}{dt}(R_1(\alpha_1t)R_2(\alpha_2t))\bigg|_{t=0})\\ \quad= \frac{d}{dt}U(R_1(\alpha_1t)R_2(\alpha_2t))\bigg|_{t=0} = \frac{d}{dt}(U(R_1(\alpha_1t))U(R_2(\alpha_2t)))\bigg|_{t=0} =\alpha_1Ω_1 + \alpha_2Ω_2.$$
3) Pregunto esto, porque alguien más escribió eso:
$$U(Ω_1+\alphaΩ_2) := \frac{d}{dt}U(R_1(t)R_2(\alpha t)\bigg|_{t=0}.$$
4) Entonces, en general, estoy un poco confundido acerca de la notación, tal vez uno podría aclarar esto un poco.

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Preguntas y comentarios generales:
Todavía no entiendo el concepto principal detrás de las representaciones.
Permítanme colocar algunas palabras en esta sala: Mecánica Cuántica ; regla de Born; simetrías; Representaciones Proyectivas; Teorema de Wigner; Representaciones irreductibles; autoestados; Sistemas Compuestos y Coeficientes de Clebsch-Gordan; Teorema de Wigner-Eckart.
Sería genial si alguien pudiera mostrarme su Idea en unas pocas líneas usando las palabras dadas arriba. Yo mismo lo intentaré más tarde (hasta ahora solo tengo una versión larga en otro idioma que puedo publicar más adelante). ¡Gracias de antemano! :)