Susceptibilidad topológica

Aquí hay una respuesta que asume que la pregunta no requirió mucho cuidado y precisión en la respuesta.

1) Se usa ``Topología'' porque$F \tilde F$integrada sobre una variedad es una cantidad topológica. (Una de mis discusiones preferidas de esta integral está en el segundo volumen de la serie de Weinberg sobre QFT).

2) Una susceptibilidad$\chi$nos dice la respuesta de un sistema a alguna perturbación particular, por ejemplo, cómo la polarización$P$cambios en respuesta a una corriente eléctrica$E$campo,$P = \chi E$. En este caso, nos interesa saber cómo$F \tilde F$cambios en respuesta al cambio$\theta$. Así que pensamos en el$\int \theta F \tilde F dx$término en la acción tal como pensamos en el acoplamiento fuente-operador habitual, donde las derivadas de la integral de trayectoria con respecto a$\theta$generar funciones de correlación de$F \tilde F$. Una derivada simple da la función de un punto, una derivada doble la función de dos puntos y así sucesivamente. Entonces, de una manera quizás demasiado pedestre, puedo escribir

$$\delta F \tilde F = {\delta \langle F \tilde F \rangle\over \delta \theta} \delta \theta$$ donde la ``derivada'' del lado derecho es la función de dos puntos que se llama susceptibilidad. Uno puede (y probablemente debería) ser mucho más cuidadoso y preciso aquí.

3) No sé cómo comprobar que el numerador es 1, pero el hecho de que haya$1/q^2$escalado en el$CC$correlador parece muy natural en el espacio de Fourier donde actuar con$d$es como multiplicar por$q$. Uno simplemente mueve el$q$está al otro lado.

Solo un comentario sobre tu segunda pregunta.

Tal estructura de correlador,

$$\lim_{q\to 0}\int d^{4}xe^{iqx}\langle 0| C^{\mu}C^{\nu} |0\rangle = \text{sign}(\kappa (0))|\kappa (0)|\frac{g_{\mu \nu}}{q^2},$$ requiere la presencia de un polo que define algún estado que se acopla directamente a la clase de Chern $C^{\mu}$. Inmediatamente hay las siguientes consecuencias: ya que $C_{\mu}$no es calibre invariante, entonces el estado ciertamente no es físico, es decir, es un fantasma; como tiene la estructura del término de masa para el gluón, modifica la estructura del polo del propagador del gluón, $$\lim_{p \to 0} D_{\mu \nu}(p) \sim -\frac{g_{\mu \nu}p^{2}}{-\text{sign}(\kappa (0))|\kappa (0)|}$$ Finalmente, su signo determina si el gluón está confinado. La última declaración es obvia si observamos el propagador de gluones: $$D_{\mu \nu}^{ab}(p) = -\frac{g_{\mu \nu} - (1 - \epsilon)\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^{2}}}{p^2 - \frac{\text{sign}(\kappa (0))\kappa (0)}{p^{2}}}$$ Ves que para el signo negativo no hay polo en el propagador, es decir, no se puede observar el gluón.