Significado de la ecuación de Yang-Baxter para la matriz rrr clásica

Estoy leyendo este artículo [ math/9802054 ] sobre la estructura del espacio de fase de Chern-Simons TQFT. Estoy atascado en la definición de lo clásico. r -matriz, que queda de la siguiente manera:

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Esto puede sonar tonto, pero no entiendo qué r 12 , r 23 , r 13 , r 21 es. Podría beneficiarme mucho de un ejemplo ilustrativo.

La ecuación (15) sugiere que r 12 y r 21 de la ecuación (14) se puede definir como r y su trasposición. Pero sospecho que r 12 de la ecuación (13) es diferente, y probablemente tiene algo que ver con mayores potencias de tensor de gramo , pero simplemente no pude encontrar una definición significativa. Esto es vergonzosamente confuso.

Creo que obtienes la ecuación YB clásica por variación infinitesimal de la ecuación YB habitual.
@RyanThorngren Correcto, consulte también mathoverflow.net/q/239079 y su respuesta

Respuestas (1)

  1. un clasico R -matriz r ∈ gramo ⊗ gramo es un elemento de la segunda potencia tensorial de un álgebra gramo (extendiendo formalmente el álgebra con un elemento de unidad 1 ).

    la notación r k ℓ ∈ gramo ⊗ gramo ⊗ gramo para un elemento de la tercera potencia tensorial significa que r pertenece a la k 'th y ℓ 'ésima copia del álgebra gramo , y uno debe enchufar 1 en la copia restante. (Si k > ℓ esto implica una transposición.)

  2. La notación para el cuanto R -matriz

    R   =   1 ⊗ 1 + ℏ r + O ( ℏ 2 )
    y la ecuación cuántica de Yang-Baxter es similar.

  3. Véase también la notación de Sweedler relacionada .

Mira, esta fue mi idea original. Pero a menos que me esté perdiendo algo (lo cual probablemente me esté pasando), no existe el elemento 1 en el álgebra de Lie.
¿Podría explicar qué significa "extender formalmente un álgebra de Lie con un elemento de unidad", por favor?
@SolenodonParadoxus Es como cuando se consideran extensiones centrales: gramo ^ = gramo ⊕ C 1 , dónde 1 viaja con todo. ¿Bien?
@AccidentalFourierTransform Creo que lo entiendo ahora, ¡gracias! Básicamente, estamos considerando el álgebra envolvente universal en lugar del álgebra de Lie en sí. Y estamos usando la unidad de ese álgebra envolvente aquí. ¿Bien?
@JulesLamers tu comentario no tiene mucho sentido para mí. Proporcione una expresión explícita para r 13 para este caso para que pueda entender lo que quieres decir.
@SolenodonParadoxus Quiero decir que la explicación de la notación de Qmechanic r k yo es correcta, pero simplemente no se llama 'notación de Sweedler': esta última es otra cosa. En otras palabras, estoy completamente de acuerdo con esta respuesta si se elimina la palabra 'Sweedler' (y el enlace).
Actualicé la respuesta.
@Qmechanic Es mejor, pero aun así sugeriría eliminar el punto 3 por completo; simplemente no es realmente relevante aquí. (La notación de Sweedler se puede usar para cualquier cogebra, donde brinda una manera conveniente de trabajar con coproductos de elementos arbitrarios. No está relacionada con la existencia de una matriz r- (o R-), y ciertamente no con la notación con el subíndices de la pregunta).
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