Suposiciones al calcular B⃗ B→\vec{B} usando la ley (circuital) de Ampère

Como se indica en los comentarios, la respuesta depende de la ley Biot-Savart. Pero, de hecho, no se necesita toda la información de la ley Biot-Savart. Los únicos dos hechos necesarios de la ley de Biot-Savart son que 1)$\vec{B}$es un pseudo-vector, y 2)$\vec{B}$es lineal en la corriente$I$. En particular, si multiplico$I$por$-1$entonces$\vec{B}$también se multiplica por$-1$. Cualquier campo vectorial que satisfaga estas suposiciones tendría que ser puramente azimutal en esta geometría.

Ya entiendes por qué el campo debe depender solo de$\rho$y no en$\phi$o$z$, pero veamos por qué las dos propiedades anteriores implican que no puede tener un componente en el$\hat{z}$o$\hat{\rho}$direcciones.

Elegiremos un punto arbitrario.$p$, y elige la coordenada para que$p$se encuentra en el$x$-eje. Luego consideramos tres transformaciones que tienen el efecto de invertir el signo de$I$al salir$p$invariante. Si escribo el campo magnético como$(B_\rho, B_\phi, B_z)$, entonces el efecto de cada una de estas transformaciones de simetría será dejar un componente solo o multiplicar por$-1$. Por lo tanto, representaré el efecto de la transformación por un triple de signos más o menos.

La primera transformación que consideramos es la rotación sobre el$x$eje. Puede verse que esta transformación invierte la$\phi$y$z$componente, pero deja el$\rho$componente. Entonces su efecto es$(+,-,-)$.

La siguiente transformación que consideraremos es simplemente invertir$I$. El efecto de esta transformación es invertir$\vec{B}$, desde$\vec{B}$es lineal en$I$. Entonces su efecto es$(-,-,-)$.

El tercer efecto que consideraremos es la reflexión a través de la$x$-$y$avión. Veré esto como una composición de inversión de paridad con una$\pi$rotación sobre el$z$-eje. Sabemos que para la inversión de paridad$\vec{B}$permanece invariable porque$\vec{B}$es un pseudo-vector. Pero cuando decimos invariante queremos decir que$\vec{B}(p)$antes de la transformación es lo mismo que$\vec{B}(-p)$después de la transformación. Pero$\hat{\rho}(p) = -\hat{\rho}(-p)$,$\hat{\phi}(p) = -\hat{\phi}(-p)$, y$\hat{z}(p) = \hat{z}(-p)$. Así para$\vec{B}$para ser el mismo el efecto de la transformación debe ser$(-,-,+)$. Entonces a esto le componemos un$\pi$rotación sobre el$z$eje, pero esto no cambia las coordenadas.

Entonces encontramos que nuestras tres transformaciones equivalentes tienen diferentes efectos. Ellos son$(+,-,-)$,$(-,-,-)$, y$(-,-,+)$. Consideremos el primer componente. La primera regla de transformación nos dice que$B_\rho$después de la transformación es lo mismo que$B_\rho$antes de la transformación. Sin embargo, la segunda ley nos dice que$B_\rho$después de la transformación es lo contrario como$B_\rho$antes de la transformación. La única forma en que esto es posible es si$B_\rho = 0$después de la transformación. Entonces$B_\rho = 0$antes de la transformación también. Entonces$B_\rho$debe ser cero pase lo que pase. Muestra lógica similar$B_z$debe ser cero. Sin embargo, no hemos demostrado que$B_\phi$debe ser cero porque vimos consistentemente que se multiplica por$-1$.