Solución de problemas simples usando solo ecuaciones de Maxwell en forma diferencial

Resuelva problemas electrostáticos o magnetostáticos simples usando solo ecuaciones de Maxwell. Por ejemplo:

En cada libro hay un ejercicio para encontrar un campo magnético fuera de un alambre delgado de radio a con corriente I . El enfoque habitual es la ley de Biot-Savart o la ley de Ampere. Sé que puede derivar la ley de Biot-Savart de las ecuaciones de Maxwell o usar la forma integral de la ley de Ampere para resolver esto fácilmente, pero estoy interesado en una solución que involucre un potencial vectorial A y una ecuación de Poisson. Luego resolviendo la ecuación por separación de variables. ¿Cuáles serían las condiciones de contorno?

EDITAR:

Considéralo así: Sabes notar pero estas dos ecuaciones magnetostáticas:

∇ ⋅ B = 0 y ∇ × H = j

y ahora sobre el calibre de Coulomb ∇ ⋅ A = 0 y B = ∇ × A y eso H y B simplemente están relacionados por B = m H

¿Qué ecuación diferencial produce esto y qué condiciones de contorno usaría para este problema específico?

Respuestas (2)

Este no es realmente un problema de "condición límite" en el sentido de que no estamos tratando de tomar conocimiento de A → en alguna superficie y extenderlo a una solución de la ecuación de Laplaces en alguna región, que tiene la superficie como límite. La razón por la que no puede hacer esto es porque no tiene ninguna razón a priori para saber cómo hacerlo. A → debe buscar un dado j → .

Más bien, está tratando de convertir la información sobre las fuentes, j → , en información sobre el campo, A → . Esto requiere realmente invertir el ∇ 2 operador, que implica el uso de las funciones de Green. Por ejemplo, podrías usar la fórmula,

A X ( X → ) = m 4 π ∫ j X ( X → ′ ) d 3 X → ′ | X → − X → ′ | .

@RobJeffries, gracias por señalarlo. Ha pasado un tiempo desde que trabajé en unidades SI.
Ya veo, en realidad resolví la última ecuación de la publicación a continuación y obtuve el campo B correcto, pero solo porque sabía cómo debería comportarse A, es decir, usé las simetrías de z y phi coord., Lo cual es extraño, porque no debería ' No sé cómo se ve A como usted señaló. Todavía no entiendo la idea detrás de esas funciones de Green, pero ahora me doy cuenta de que puedo usar la ecuación de Poisson. para resolver cosas SOLO si conozco alguna información sobre A o B, es decir, las condiciones de contorno. Todo esto es frustrante porque tengo que decidir qué método usar, por ejemplo, el ejercicio 5.13. en Jackson, algunos usan la ecuación de Poisson. y algunos usan esa integral

▽ × B = m j
y
B = ▽ × A
entonces
▽ × ▽ × A = m j

De la definición del vector laplaciano tenemos

▽ × ▽ × A = ▽ 2 A − ▽ ( ▽ ⋅ A )

El indicador de Coulomb hace que el segundo término de la RHS desaparezca, por lo que nos queda

▽ 2 A = − m j
que es simplemente la ecuación de Poisson en forma vectorial. Para relacionar el vector potencial con el radio del cable y la corriente que lo atraviesa, puede integrar la densidad de corriente en una sección transversal del cable.

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