Derivación de la ley de Biot-Savart a partir de las ecuaciones de Maxwell

Question

Derivación de la ley de Biot-Savart a partir de las ecuaciones de Maxwell

JAustin

Como ejercicio, he estado tratando de derivar la ley de Biot-Savart del segundo conjunto de ecuaciones de Maxwell para la corriente en estado estacionario

\begin{aligned} \nabla \cdot B = 0 & \nabla \times B = m_{0} j \end{aligned}

$\begin{align}&\nabla\cdot\mathbf{B}=0&&\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}\end{align}$

Pude hacer esto usando el hecho de que un campo incompresible tiene un vector potencial $\mathbf{A}$ , permitiéndome reescribir la segunda ecuación como

\nabla^{2} A = - m_{0} j

$\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$

que se puede resolver por componentes usando la función de Green para el Laplaciano, dando

A (X) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d^{3} X^{'}

$\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^{3}\mathbf{x}'$

y desde $\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)=\psi\nabla\times\mathbf{J}+\nabla\psi\times\mathbf{J}$ ,

\nabla \times A = B (X) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j \times (X - X^{'})}{| X - X^{'} |^{3}} d^{3} X^{'}

$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^{3}\mathbf{x}'$

como se desee. Sin embargo, si en cambio tomo el rizo de ambos lados de la Ley de Ampere y uso la identidad $\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}$ al principio me doy cuenta de que

\nabla (\nabla \cdot B) - \nabla^{2} B = 0 - \nabla^{2} B = m_{0} \nabla \times j

$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}=0-\nabla^2\mathbf{B}=\mu_0\nabla\times\mathbf{J}$

que puedo resolver de nuevo como la ecuación de Poisson, dando

B (X) = - \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{\nabla^{'} \times j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d^{3} X^{'}

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^3\mathbf{x}'$

que se puede simplificar usando la identidad $\psi(\nabla\times\mathbf{J})=-\nabla\psi\times\mathbf{J}+\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)$ , donación

B (X) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (X^{'}) \times (X - X^{'})}{| X - X^{'} |^{3}} d^{3} X^{'} - \frac{m_{0}}{4 π} \int \nabla^{'} \times (\frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |}) d^{3} X^{'}

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^3\mathbf{x}'-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}'$

La primera integral es precisamente la ley de Biot Savart, pero no tengo idea de cómo hacer desaparecer la segunda integral. He agotado todas las identidades de cálculo vectorial obvias, y el teorema de Stokes no ayuda mucho. Claramente me estoy perdiendo un error obvio, pero no he podido localizarlo. Esto es similar a otras preguntas que se han hecho antes, pero tengo una pregunta específica sobre un paso en la derivación que no se responde en ningún otro lugar.

Frobenius

En tu segunda ecuación falta un signo menos

\begin{matrix} (01) & \nabla^{2} A = - m_{0} j \end{matrix}

$\nabla^2\mathbf{A}=\boldsymbol{-}\mu_0\mathbf{J} \tag{01}$ ya que

\begin{matrix} (02) & \nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times A) = \nabla \overset{= 0}{\overset{⏞}{(\nabla \cdot A)}} - \nabla^{2} A = - \nabla^{2} A \end{matrix}

$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla} \overbrace{(\nabla\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}^{=0}-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\nabla^{2}\mathbf{A} \tag{02}$

AHB

Creo que Biot Savarat es más fundamental que las ecuaciones de Maxwell. ¡Creo que se debería haber hecho el proceso inverso!

tomf

@AHB su comentario es incorrecto. La ecuación de Maxwell es la base de la electrodinámica. Son fundamentales, en el sentido de que toda la electrodinámica se puede derivar de ellos (junto con la ley de fuerza de Lorentz). No hay nada "más fundamental" que ellos.

AHB

@tomph Quiero decir que la ley se deriva antes de derivar las ecuaciones de Maxwell. En los libros de texto, hablan de la ley bs antes de introducir las ecuaciones de Maxwell.

Javier

@AHB: ninguna ley se deriva o, si lo prefiere, ambas pueden derivarse una de la otra. Pero no puedes comenzar un libro de texto derivando la ley de Biot-Savart; es un resultado experimental.

Ján Lalinský

@tomph, la fórmula de fuerza de Lorentz no se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell.

tomf

@JánLalinský Sí, de hecho, dije "toda la electrodinámica se puede derivar de [ME] ( junto con la ley de fuerza de Lorentz )", lo que significa que necesita los 4 de ME y LFL para derivar electrodinámica

Ján Lalinský

@tomph, gracias por la aclaración. No soy un hablante nativo, entendí mal tu publicación.

AHB

Hola @tomph! Usted sabe lo que quiero decir. La ley de fuerza de Lorentz conduce a la ley de Biot Savarat. Luego llegamos a las ecuaciones de Maxwell. Es la cuestión de la secuencia. Uno no comienza con las ecuaciones de Maxwell para encontrar las leyes más básicas. ah

Respuestas (2)

Derivación de la ley de Biot-Savart a partir de las ecuaciones de Maxwell

En tu segunda ecuación falta un signo menos $\begin{matrix} (01) & \nabla^{2} A = - m_{0} j \end{matrix}$ $\nabla^2\mathbf{A}=\boldsymbol{-}\mu_0\mathbf{J} \tag{01}$ ya que $\begin{matrix} (02) & \nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times A) = \nabla \overset{= 0}{\overset{⏞}{(\nabla \cdot A)}} - \nabla^{2} A = - \nabla^{2} A \end{matrix}$ $\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla} \overbrace{(\nabla\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}^{=0}-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\nabla^{2}\mathbf{A} \tag{02}$
Creo que Biot Savarat es más fundamental que las ecuaciones de Maxwell. ¡Creo que se debería haber hecho el proceso inverso!
@AHB su comentario es incorrecto. La ecuación de Maxwell es la base de la electrodinámica. Son fundamentales, en el sentido de que toda la electrodinámica se puede derivar de ellos (junto con la ley de fuerza de Lorentz). No hay nada "más fundamental" que ellos.
@tomph Quiero decir que la ley se deriva antes de derivar las ecuaciones de Maxwell. En los libros de texto, hablan de la ley bs antes de introducir las ecuaciones de Maxwell.
@AHB: ninguna ley se deriva o, si lo prefiere, ambas pueden derivarse una de la otra. Pero no puedes comenzar un libro de texto derivando la ley de Biot-Savart; es un resultado experimental.
@tomph, la fórmula de fuerza de Lorentz no se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell.
@JánLalinský Sí, de hecho, dije "toda la electrodinámica se puede derivar de [ME] ( junto con la ley de fuerza de Lorentz )", lo que significa que necesita los 4 de ME y LFL para derivar electrodinámica
@tomph, gracias por la aclaración. No soy un hablante nativo, entendí mal tu publicación.
Hola @tomph! Usted sabe lo que quiero decir. La ley de fuerza de Lorentz conduce a la ley de Biot Savarat. Luego llegamos a las ecuaciones de Maxwell. Es la cuestión de la secuencia. Uno no comienza con las ecuaciones de Maxwell para encontrar las leyes más básicas. ah

Fratauro · Answer 1

Por lo que puedo recordar, la fórmula que obtienes es correcta. Puedes hacer desaparecer esta integral "problemática" usando la siguiente identidad, que llamaremos "teorema del rotacional":

\int \vec{\nabla} \times \vec{w} d V = - \int \vec{w} \times d \vec{S}

$\int\vec{\nabla}\times\vec{w}dV = -\int\vec{w}\times d\vec{S}$

Para demostrar que esto es cierto, vamos a utilizar el teorema de la divergencia o de Green-Ostrogradski, a saber

\int \vec{\nabla} \cdot \vec{v} d V = \int \vec{v} \cdot d \vec{S}

$\int\vec{\nabla}\cdot \vec{v}dV = \int \vec{v}\cdot d\vec{S}$

Dado que el teorema de la divergencia es una identidad escalar mientras que el teorema del rotacional es una identidad vectorial, vamos a necesitar tres campos vectoriales distintos que vamos a denotar $\vec{v}_i$ . Ahora, querríamos $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$ para deducir una identidad en el rizo. Escribiendo eso en notación tensorial:

\partial^{k} (v_{i})_{k} = ϵ_{i k yo} \partial^{k} w^{yo}

$\partial^k(v_i)_k=\epsilon_{ikl}\partial^k w^l$

Como vemos, basta con tomar $(\vec{v}_i)_k = \epsilon_{ikl}w^l$ y la relación se cumplirá. Entonces, para tal campo vectorial tenemos $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$ .

Aplicando el teorema de la divergencia a $\vec{v}_i$ :

\int (\vec{\nabla} \times \vec{w})_{i} d V = \int \vec{\nabla} \cdot {\vec{v}}_{i} d V = \int \vec{v_{i}} \cdot d \vec{S} = \int (v_{i})_{k} (d \vec{S})^{k} = \int ϵ_{i k yo} w^{yo} (d \vec{S})^{k} = - \int (\vec{w} \times d \vec{S})_{i}

$\int(\vec{\nabla}\times\vec{w})_idV = \int\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_idV = \int\vec{v_i}\cdot d\vec{S} = \int (v_i)_k(d\vec{S})^k = \int\epsilon_{ikl}w^l(d\vec{S})^k = -\int(\vec{w}\times d\vec{S})_i$

Dando así una prueba del "teorema del rotacional". Utilizándolo en su integral problemática:

- \frac{m_{0}}{4 π} \int \nabla^{'} \times (\frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |}) d^{3} X^{'} = - \frac{m_{0}}{4 π} \int (\frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |}) \times d {\vec{S}}^{'}

$-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}' = -\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,\times d\vec{S}'$

Ahora, la integral de volumen se hace en todo el espacio, y suponiendo que supongamos que $\lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{\vec{J}(x')}{|x-x'|} = 0$ , da una contribución de 0. ¿Por qué esto no agrega suposiciones locas?

Para que este límite sea distinto de cero, necesariamente debemos tener que $|J(x)|$ tienden al infinito. De hecho, supongamos $J(x)$ es finito Entonces, hay una constante $C$ tal que $|J(x)|<C$ . Después, $lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{|J(x')|}{|x-x'|}<\lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{C}{|x-x'|} = 0$ . Por lo tanto, si tuviéramos que esta integral "extra" no desapareciera, se nos requeriría tener una densidad de corriente infinita en el infinito, lo que parece no ser tan físico.

Por supuesto, toda mi derivación se hizo en el contexto de funciones de buen comportamiento. No funcionará, por ejemplo, para un cable infinitamente pequeño, ya que la densidad de corriente se convierte en una distribución (usando el dirac delta $\delta(x)$ ). No estoy lo suficientemente calificado para abordar este caso con rigor, pero espero que la explicación anterior dé una idea de por qué es sensato establecer esta integral en 0.

Gracias por la explicación detallada. Intenté algo como esto antes, pero encontré el requisito de que $\mathbf{J}(\mathbf{x}')\rightarrow 0$ en el infinito un poco sospechoso. Un alambre o solenoide infinito obviamente puede producir un campo magnético físicamente significativo. Por supuesto, a menos que nos importe el campo en el infinito, $1/|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$ irá a cero de todos modos, por lo que esto no es una preocupación. Aún así, este es un tipo de complicación que no hubiera esperado.
Sí, eso es lo que quise decir con "condiciones más flexibles". También me parece una condición bastante restrictiva, pero tal vez (no lo he investigado, para ser honesto), si requiere que su campo magnético sea finito (lo cual es, creo, una suposición sólida), entonces esto impondrá algunas condiciones de la forma de $J(x)$ . Dadas estas condiciones, tal vez tengamos eso $\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\rightarrow 0$ necesariamente. En efecto, para que este término no desaparezca, $J(x)$ no puede ser finito en $|x|\rightarrow \infty$ . Esto implica una corriente infinita, que parece no ser física. editaré
Tu edición tiene sentido. Todavía estoy un poco preocupado por el comportamiento del límite, ya que el límite simultáneo como ambos $\mathbf{x}$ y $\mathbf{x}'$ ir al infinito es potencialmente indeterminado.
Esto no debería ser un problema, considere esto: los límites no se toman "simultáneamente". De hecho, primero eliges un punto del espacio $x$ en el que se quiere evaluar el campo magnético. En este cálculo, usted tiene que tomar $x'$ ir a $\infty$ en la integral de frontera, mientras que $x$ sigue siendo finito. Así que no debería haber problema. Ahora, si desea determinar $B(x)$ por $|x|$ yendo al infinito, debe calcular B como una función de una x FINITA, y ENTONCES tomar $x\rightarrow\infty$ . Así que, si se quiere, el $x'$ "límite" siempre se toma por un finito $x$ , incluso para arbitrariamente grandes $x$ .

Javier · Answer 2

Una primera observación es que esto no es particular del magnetismo. Lo mismo sucede exactamente si tratas de encontrar la ley de Coulomb para el campo eléctrico; obtienes un término como

\int \nabla^{'} \frac{ρ (X^{'})}{| X - X^{'} |} d^{3} X^{'}

$\int \nabla' \frac{\rho(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\ d^3 \mathbf{x}'$

que debe ser cero. Bueno, no hay identidades sofisticadas de cálculo vectorial involucradas, simplemente el antiguo teorema fundamental del cálculo. Para ver esto, echemos un vistazo a su versión. La integral es un vector y cada componente tiene dos términos debido al rotacional. Concentrémonos en el primer término del primer componente:

\int \partial_{2}^{'} (\frac{j_{3} (X^{'})}{| X - X^{'} |}) d^{3} X^{'}

$\int \partial'_2 \left( \frac{J_3(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|} \right)\ d^3\mathbf{x}'$

Por el teorema de Fubini (suponiendo funciones suficientemente bien comportadas), podemos integrar las tres variables en cualquier orden. los $x_2'$ la integración es trivial porque el integrando es una derivada total, por lo que el resultado es solo lo que está dentro del paréntesis evaluado en $x_2' = \pm \infty$ , que normalmente suponemos que es cero. Por lo tanto, este término se desvanece, y también todos los demás porque son esencialmente lo mismo.

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