Derivación de la Ley de Ampere de Biot-Savart

Question

Derivación de la Ley de Ampere de Biot-Savart

Física
magnetostática
campos eléctricos
campos magnéticos
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell

Ma Joad

Nuestro objetivo es derivar $\nabla\times \mathbf B=\mu_0(\mathbf J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})$ .

Para empezar, deja $\mathbf A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb R^3}\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'$ . Entonces

\nabla \times A = B (r) = \int_{R^{3}} \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |^{3}} \times (r - r^{'}) d V^{'}, \nabla^{2} A (r) = - m_{0} j .

$\nabla\times \mathbf A=\mathbf B(\mathbf r)= \int_{\mathbb R^3}\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\times (\mathbf r-\mathbf r')dV',\\ \nabla^2 \mathbf A(\mathbf r)=-\mu_0 \mathbf J.$ Por lo tanto, usando la identidad,

\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A

$\nabla\times(\nabla\times \mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot \mathbf A)-\nabla^2 \mathbf A$ ,

\nabla \times B = \frac{m_{0}}{4 π} \nabla [\int j (r^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| r - r^{'} |}) d V^{'}] + m_{0} j (r) .

$\nabla\times \mathbf B=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla \left[\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV' \right]+\mu_0\mathbf J(\mathbf r).$ Por lo tanto, tenemos que demostrar que

\nabla [\int j (r^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| r - r^{'} |}) d V^{'}] = 4 π ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t} .

$\nabla \left[\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV' \right]=4\pi\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.$ si dejamos

E = - \nabla ϕ

$\mathbf E=-\nabla \phi$ , entonces solo nos falta probar que

\int j (r^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| r - r^{'} |}) d V^{'} = - 4 π ϵ_{0} \frac{\partial ϕ}{\partial t} .

$\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV'=-4\pi \epsilon_0\frac{\partial \phi}{\partial t}.$

Pero no sé cómo manejar esto en absoluto, no he experimentado $\frac{\partial \phi}{\partial t}$ antes.

¿Cómo puedo continuar?

EDITAR: Puedo sentir vagamente lo que está pasando:

\frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int j (r^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| r - r^{'} |}) d V^{'} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int ρ v \cdot (\frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |^{3}}) d V^{'} = \int F (r^{'}, r) \cdot v (r^{'}) d V^{'},

$\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV'\\ =\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \mathbf \rho \mathbf v \cdot \left(\frac{\mathbf{r-r'}}{|\mathbf{r-r'}|^3}\right)dV'\\=\int \mathbf{F(\mathbf r',\mathbf r)\cdot v(\mathbf r')} dV',$ dónde

F (r^{'}, r)

$\mathbf{F}(\mathbf r',\mathbf r)$ es la fuerza electrica

r

$r$ ejerce sobre

r^{'}

$r'$ . Entonces, la integral representa la tasa de trabajo realizado en otra parte del campo eléctrico por

r

$r$ , por lo tanto, es igual a la tasa de disminución del potencial en

r

$r$ .

Pero, ¿cómo puedo hacer esto más claro y formal?

j murray

Biot-Savart se mantiene solo para condiciones magnetostáticas, ¿no es así? Es posible que desee ver las ecuaciones de Jefimenko en su lugar.

Ma Joad

@ J.Murray Pero, ¿cómo derivar a Jefimenko?

j murray

En cualquier derivación, es necesario tener un punto de partida. Históricamente, Maxwell entendió que la ley de Ampere magnetostática (

\nabla \times B = μ_{0} J

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ ) era insuficiente, y añadió un término de corrección que ha sido validado incesantemente por experimentación desde entonces. ¿Estás preguntando cómo hizo esto?

Ma Joad

@J.Murray Sí, exactamente. Solo estoy tratando de darle sentido al término.

\partial E / \partial t

$\partial E/\partial t$ .

Puk

Es posible que desee echar un vistazo a este artículo de Wikipedia para ver un ejemplo de por qué la ley de Ampere sin el término actual de desplazamiento no funciona.

Tomas Fritsch

No se puede derivar la ecuación de Maxwell con la

ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}

$\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$ término del potencial de Biot-Savart, porque el potencial de Biot-Savart es una aproximación válida solo para corrientes

J

$\mathbf J$ variando lentamente con el tiempo.

Respuestas (2)

Derivación de la Ley de Ampere de Biot-Savart

Biot-Savart se mantiene solo para condiciones magnetostáticas, ¿no es así? Es posible que desee ver las ecuaciones de Jefimenko en su lugar.
En cualquier derivación, es necesario tener un punto de partida. Históricamente, Maxwell entendió que la ley de Ampere magnetostática ( $\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ ) era insuficiente, y añadió un término de corrección que ha sido validado incesantemente por experimentación desde entonces. ¿Estás preguntando cómo hizo esto?
@J.Murray Sí, exactamente. Solo estoy tratando de darle sentido al término. $\partial E/\partial t$ .
Es posible que desee echar un vistazo a este artículo de Wikipedia para ver un ejemplo de por qué la ley de Ampere sin el término actual de desplazamiento no funciona.
No se puede derivar la ecuación de Maxwell con la $\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$ término del potencial de Biot-Savart, porque el potencial de Biot-Savart es una aproximación válida solo para corrientes $\mathbf J$ variando lentamente con el tiempo.

j murray · Answer 1

La ley de Biot-Savart dice que en condiciones magnetostáticas ( $\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow 0$ ),

B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{| r - r^{'} |^{3}} d V^{'}

$\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J(\mathbf r') \times (\mathbf r - \mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|^3} dV'$

Señalando que

\frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |^{3}} = \nabla (\frac{1}{| r - r^{'} |})

$\frac{\mathbf r - \mathbf r'}{|\mathbf r - \mathbf r'|^3} = \nabla \left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right)$ dónde

\nabla

$\nabla$ se refiere a la diferenciación por las coordenadas no imprimadas, esto se puede escribir

B (r) = \nabla \times \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'}

$\mathbf B(\mathbf r) = \nabla \times\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$

Tomando el rizo de esto y usando el hecho de que $\nabla \times (\nabla \times \mathbf F) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf F) - \nabla^2 \mathbf F$ ,

\nabla \times B (r) = \nabla (\int j (r^{'}) \cdot \nabla [\frac{1}{| r - r^{'} |}] d V^{'}) - \nabla^{2} \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'}

$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \nabla\left(\int J(\mathbf r')\cdot \nabla\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]dV'\right) - \nabla^2 \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$

Señalando que

\nabla [\frac{1}{| r - r^{'} |}] = - \nabla^{'} [\frac{1}{| r - r^{'} |}]

$\nabla\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right] = -\nabla'\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]$

podemos integrar el primer término por partes para obtener

\nabla (\int \nabla^{'} \cdot [\frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |}] d V^{'} - \int \frac{\nabla^{'} \cdot j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'})

$\nabla\left(\int \nabla' \cdot \left[\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]dV' - \int\frac{\nabla' \cdot \mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|} dV'\right)$

El primer término es un término superficial y desaparece si suponemos que $\mathbf J(\mathbf r') \rightarrow 0$ como $|\mathbf r'| \rightarrow \infty$ . El segundo término desaparece porque de acuerdo con la ecuación de continuidad, $\nabla\cdot\mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ en magnetostática. Esto nos deja con

\nabla \times B (r) = \nabla^{2} \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'}

$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \nabla^2 \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$

y desde

\nabla^{2} \frac{1}{| r - r^{'} |} = 4 π d^{(3)} (r - r^{'})

$\nabla^2 \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} = 4\pi \delta^{(3)}(\mathbf r - \mathbf r')$

tenemos

\nabla \times B = m_{0} j

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ .

Nuevamente, Biot-Savart es válido solo en condiciones magnetostáticas y, por lo tanto, también lo es esta versión de la ley de Ampere. Sería bueno relajar estas condiciones y volver a hacer esta derivación de manera más general, pero aún no sabemos con qué reemplazar Biot-Savart.

En cambio, veamos cómo falla esta versión de la ley de Ampere cuando pasamos a la electrodinámica general. Claramente desde $\mathbf J \propto \nabla \times \mathbf B$ , tenemos eso $\nabla \cdot \mathbf J = 0$ . Sin embargo, de acuerdo con la ecuación general de continuidad, $\nabla \cdot \mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$ .

Para arreglar esto, supongamos que necesitamos un nuevo término, entonces

\nabla \times B = m_{0} j + GRAMO

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \mathbf G$

para algún campo vectorial $\mathbf G$ . Tomando la divergencia de ambos lados se obtiene

0 = - m_{0} \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot GRAMO

$0 = - \mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf G$

⟹ \nabla \cdot GRAMO = m_{0} \frac{\partial ρ}{\partial t}

$\implies \nabla \cdot \mathbf G = \mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t}$

De la ley de Gauss para campos eléctricos, sabemos que $\rho = \epsilon_0 \nabla \cdot \mathbf E$ , y entonces

\nabla \cdot GRAMO = ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot mi = \nabla \cdot (ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial}{\partial t} mi)

$\nabla \cdot \mathbf G = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \mathbf E = \nabla \cdot \left(\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}\mathbf E\right)$

y así podemos simplemente postular que

GRAMO = ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial}{\partial t} mi

$\mathbf G = \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$

entonces

\nabla \times B = m_{0} j + ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial}{\partial t} mi

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$

Esta fue la corrección de Maxwell a la ley de Ampere, y ha sido validada una y otra vez mediante experimentos.

En resumen, magnetostática + Biot-Savart nos da $\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ . Como era de esperar, esto falla cuando dejamos el dominio de la magnetostática y, en particular, es inconsistente con la ecuación de continuidad. No sabemos cómo generalizar Biot-Savart, pero remendar el problema con la ecuación de continuidad de la manera más simple posible produce la ley de Ampere correcta, $\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}\mathbf E$ .

A partir de esto, podemos trabajar hacia atrás para encontrar la generalización correcta de Biot-Savart; esta es una de las ecuaciones de Jefimenko .

EDITAR:

Volviendo a la derivación original después de eliminar el término superficial (pero antes de enviar $\nabla'\cdot \mathbf J(\mathbf r')\rightarrow 0$ ), tenemos

\nabla \times B (r) = m_{0} j (r) - \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{\nabla^{'} \cdot j (r^{'})}{| r - r^{'} |}

$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \mu_0 \mathbf J(\mathbf r) - \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\nabla '\cdot \mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$

En las condiciones que cumple Biot-Savart, el último término es igual a cero; sin embargo, podemos ser audaces y dejar de lado esas restricciones solo para ver qué sucede. En condiciones generales, $\nabla \cdot \mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$ , por lo que ese término se convierte en

\frac{m_{0}}{4 π} \nabla \int \frac{\partial ρ}{\partial t} \frac{1}{| r - r^{'} |} d V^{'} = \frac{\partial}{\partial t} \frac{m_{0}}{4 π} \nabla \int \frac{ρ (r^{'})}{| r - r^{'} |}

$\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int \frac{\partial \rho}{\partial t} \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} dV'= \frac{\partial}{\partial t} \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int\frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$

Definición

ϕ (r) = \int \frac{ρ (r^{'})}{4 π ϵ_{0} | r - r^{'} |}

$\phi(\mathbf r) = \int \frac{\rho(\mathbf r')}{4\pi \epsilon_0 |\mathbf r-\mathbf r'|}$ y dejando

E = - \nabla ϕ

$\mathbf E = -\nabla\phi$ , esto se convierte

\nabla \times B = m_{0} j + ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial}{\partial t} mi

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$

Lo que hicimos aquí, simplemente ignorar las condiciones bajo las cuales Biot-Savart es aplicable y conectar la ecuación de continuidad más general, es moralmente lo mismo que la adición de Maxwell del término adicional para compensar la divergencia distinta de cero de $\mathbf J$ .

Tenga en cuenta también que hemos pasado por alto cómo pasar de la magnetostática a la electrodinámica. $\big(\mathbf J(\mathbf r) \rightarrow \mathbf J(\mathbf r,t), \rho(\mathbf r)\rightarrow \mathbf \rho(\mathbf r,t)\big)$ . Simplemente conectando un $t$ a Biot-Savart y dejar que "acompañe el viaje" es insuficiente; trabajar hacia atrás a partir de las ecuaciones de Maxwell completas demuestra la necesidad de introducir el tiempo retardado $t_r = t - \frac{|\mathbf r - \mathbf r'|}{c}$ , lo que indica que Biot-Savart es realmente incorrecto para la electrodinámica.

@MaJoad No. Tenga en cuenta que para condiciones magnetostáticas, el lado derecho es cero, mientras que el izquierdo generalmente no lo es.
Al final, ha demostrado que biot savart es consistente con el eq completo de Maxwell si el campo eléctrico está dado por el campo de Coulomb. En la práctica, esto sucede cuando el campo eléctrico inducido es insignificante, como cerca del capacitor para frecuencias lo suficientemente bajas. Entonces, biot savart es más general que la ley de amperios, también es válida cuando el campo eléctrico varía en el tiempo, siempre que su componente no culombio sea despreciable.

Tomas Fritsch · Answer 2

Nuestro objetivo es derivar $\nabla\times \mathbf B=\mu_0\left(\mathbf J+\epsilon_0\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}\right)$ .

No puede derivar la ley de Ampere completa anterior (incluyendo $\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ ) de la ley de Biot-Savart

A (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'} .

$\mathbf A(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'.$

Solo puede derivar la ley de Ampere incompleta (sin $\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ )

\nabla \times B = m_{0} j

$\nabla\times \mathbf B=\mu_0\mathbf J$ de eso.

Solo estoy tratando de darle sentido al término. $\partial \mathbf{E}/\partial t$

El término $\partial \mathbf{E}/\partial t$ se puede motivar mejor siguiendo el camino de Maxwell.

Antes de Maxwell, la conservación de la carga ya era un hecho experimental bien establecido. Escrito como ecuación diferencial esto es

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla j = 0. \end{matrix}

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}=0. \tag{1}$

Maxwell también conocía estas leyes:

\begin{matrix} (M1) & ϵ_{0} \nabla mi = ρ \end{matrix}

$\epsilon_0\mathbf{\nabla}\mathbf{E}=\rho \tag{M1}$

\begin{matrix} (M2) & \nabla B = 0 \end{matrix}

$\mathbf{\nabla}\mathbf{B}=0 \tag{M2}$

\begin{matrix} (M3) & \nabla \times mi = - \frac{\partial}{\partial t} B \end{matrix}

$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{B} \tag{M3}$

\begin{matrix} (M4) & \frac{1}{m_{0}} \nabla \times B = j \end{matrix}

$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{J} \tag{M4}$ Aparentemente, todos estos también fueron hechos experimentales bien establecidos.

Ahora de (M1) Maxwell podría derivar

\frac{\partial ρ}{\partial t} = ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial t} \nabla mi

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\nabla}\mathbf{E}$ y desde (M4)

\nabla j = 0.

$\nabla{\mathbf{J}}=0.$ Por eso

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla j \neq 0

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}\neq 0$ lo que obviamente está en contradicción con (1).

Entonces una de las leyes (1), (M1) y (M4) debe estar equivocada. Sin embargo, todos ellos deben ser al menos muy buenas aproximaciones, porque todos los experimentos realizados hasta su época no encontraron desviaciones.

La solución de Maxwell fue modificar la ecuación (M4):

\begin{matrix} (M4') & \frac{1}{m_{0}} \nabla \times B = j + ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial t} mi \end{matrix}

$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E} \tag{M4'}$

Esto tiene dos consecuencias:

El término adicional $\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E}$ es extremadamente pequeño debido al pequeño valor $\epsilon_0$ . Y por lo tanto, la ecuación sin modificar (M4) sigue siendo una muy buena aproximación, y el cambio es inmensurablemente pequeño en todos los experimentos realizados hasta ahora con corrientes y campos magnéticos.
El término adicional salva la conservación de la carga. Ahora de (M1) obtenemos de nuevo $\frac{\partial ρ}{\partial t} = ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial t} \nabla mi$ $\frac{\partial\rho}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\nabla}\mathbf{E}$ y de (M4') ahora obtenemos $\nabla j = - ϵ_{0} \nabla \frac{\partial}{\partial t} mi .$ $\nabla{\mathbf{J}}=-\epsilon_0\mathbf{\nabla}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E}.$ Por eso $\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla j = 0$ $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}=0$ que ahora está de acuerdo con (1).

La corrección de la modificación de Maxwell fue confirmada experimentalmente poco después por el descubrimiento de ondas electromagnéticas de alta frecuencia. Aquí el término $\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ es esencial.

Las ecuaciones de Maxwell (M1), (M2), (M3) y (M4') pueden resolverse y dar como resultado los potenciales retardados (con $c:=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$ ):

\begin{aligned} A (r, t) & = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}, t - \frac{| r - r^{'} |}{C})}{| r - r^{'} |} d V^{'} \\ Φ (r, t) & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}, t - \frac{| r - r^{'} |}{C})}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)&=\frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf J\left(\mathbf r',t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}\right)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV' \\ \Phi(\mathbf r,t)&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int\frac{\rho\left(\mathbf r',t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}\right)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'. \end{align}$

Obviamente, estos potenciales no son idénticos a los potenciales de Biot-Savart y Coulomb, debido al término retardador de tiempo $-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}$ .

Pero - debido al gran valor de $c$ (la velocidad de la luz) - a menudo es legítimo ignorar este término retardador de tiempo, especialmente cuando las densidades $\mathbf{J}$ y $\rho$ varían lentamente con el tiempo $t$ . De esta manera recuperamos los potenciales de Biot-Savart y de Coulomb como una aproximación de los potenciales retardados exactos.

\begin{aligned} A (r, t) & \approx \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}, t)}{| r - r^{'} |} d V^{'} \\ Φ (r, t) & \approx \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}, t)}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)&\approx\frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf J(\mathbf r',t)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV' \\ \Phi(\mathbf r,t)&\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int\frac{\rho(\mathbf r',t)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'. \end{align}$

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