¿Qué significa ser único en términos de potenciales vectoriales?

A continuación usaré unidades de Planck, para las cuales, en particular,$c = \epsilon_{0} = =1$.

De hecho, el sistema completo de ecuaciones de Maxwell proporciona la declaración de que los únicos dos componentes vectoriales del campo EM$\mathbf E, \mathbf B$son independientes (en general, debido a una profunda razón de simetría, a saber, que una partícula sin masa tiene solo dos polarizaciones). A continuación, si escribimos el campo EM en términos de 4 potenciales

$$A_{\mu} \equiv \left( V, \mathbf A\right)_{\mu}$$ (Por ejemplo, $A_{0} \equiv V$), $$\mathbf E = -\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} - \nabla V, \quad \mathbf B = \nabla \times \mathbf A,$$ agregamos una nueva transformación de simetría de calibre no física $$\tag 1 V \to V + \frac{\partial \varphi}{\partial t}, \quad \mathbf A \to \mathbf A - \nabla \varphi ,$$ bajo el cual $\mathbf E, \mathbf B$no cambia: $$\mathbf E \to \mathbf E, \quad \mathbf B \to \mathbf B$$ Es decir, $A_{\mu}$no es único Además, parece que sin imponer algunas condiciones 4-potencial tiene 4 componentes, mientras que este número debe ser 2, en correspondencia con el número de componentes independientes de $\mathbf E, \mathbf B$. ¿Es esto un problema? No.

Necesitamos construir el esquema preciso de reducción del número de componentes, que incluye el problema de la unicidad de 4 potenciales . La simetría de calibre no es física, por lo que primero podemos arreglar$\varphi$en$(1)$imponiendo la llamada condición de calibre, que deja tres componentes independientes de$A_{\mu}$en cambio cuatro. Puede ser, por ejemplo, la condición del calibre de Coulomb,

$$\nabla \cdot \mathbf A = 0,$$ o condición invariante de lorentz, como $$\partial_{\mu}A^{\mu} = \frac{\partial V}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf A = 0$$ A continuación, reducimos el número de componentes de tres a dos usando la primera ecuación de Maxwell, que se llama ley de Gauss, ya que de hecho es el límite, porque no contiene derivadas en el primer tiempo de $\mathbf E$o, correspondientemente, las segundas derivadas temporales de $A_{\mu}$(no describe los grados de libertad propagados). Por ejemplo, para el calibre de Coulomb, esta ecuación toma la forma $$\nabla \cdot \mathbf E = -\Delta V - \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf A )}{\partial t} = -\Delta V = 4 \pi \rho ,$$ de donde tenemos el potencial escalar en función de la densidad de carga. Para $\rho = 0$, lo cual es cierto en el caso de la magnetostática, simplemente podemos establecer $V$a cero.

Así, reducimos el número de$A_{\mu}$de cuatro a dos, como debe ser, y resolver el problema de unicidad.

Resumamos: si hemos utilizado la ley de Gauss como límite, es decir, si hemos reducido el número de componentes de 4 potenciales de cuatro a tres, lo único que necesitamos para fijarlo de manera única es imponer tal condición de calibre, ya que sin hacer eso, el potencial 4 se determina solo hasta la transformación no física.

$\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d}#2}}\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\div}[1]{\nabla \cdot #1} \newcommand{\pdvt}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \newcommand{\curl}[1]{\nabla \times \vec{ #1}}$Supongo que sabe cómo resolver las ecuaciones de Maxwell en el vacío. Al final se obtiene una expresión de la forma:

$$\nabla^2\phi = - \pdv {} t(\div \vec A) \quad \text{and}\quad \nabla(\div \vec A)+ \nabla \left( \pdv \phi t \right) + \pdvt{\vec A} t= \Delta \vec A \tag 1$$

donde he tomado$\varepsilon_0= \mu_0 = c =1$y

$$-\nabla \phi = \vec E + \pdv A t \tag 2 \quad \text{and} \quad \vec B = \curl A$$ como de costumbre y $\Delta$es el laplaciano vectorial. sabes que cualquier $\vec A' = \vec A + \nabla f$también se va $\vec B$invariante. Por eso decimos $\vec A$no es único Sin embargo, tenga en cuenta que también necesita cambiar $\phi$para dejar invariable la ecuación de Maxwell, es decir, debe tomar otra $\phi'$con

$$\phi' = \phi - \pdv f t$$

que se puede ver fácilmente a partir de la ecuación$(2)$. Queremos arreglar esta ambigüedad y también hacer que la ecuación.$(1)$verse mejor Así elegimos$\div A = - \left( \pdv \phi t\right)$para que la ecuación$(1)$se convierte en:

$$\nabla^2 \phi = \pdvt \phi t \qquad \pdvt {\vec A} t = \Delta \vec A$$

Este es el llamado calibre Lorentz. Tenga en cuenta que$\vec A$todavía no es demasiado único, es decir$\vec A' = \vec A + \nabla f$también resuelve las ecuaciones para cualquier función que satisfaga$\nabla^2 f = \pdvt f t$. Para arreglar$\vec A$por completo es necesario imponer condiciones de contorno.

Si tuvieramos$\pdv \phi t = \pdv A t=0$, entonces la elección de la divergencia de$\vec A$sería$\div { \vec A} = 0$que también se llama calibre de Coulomb.

Esto no es tan claro como la respuesta del Nombre YYY, pero sin saber sobre tensores y relatividad especial, creo que debería ser suficiente.