Supersimetría extendida y teorías de calibre quiral

Estoy tratando de entender el argumento de que la supersimetría extendida no puede producir la estructura quiral del Modelo Estándar, como se explica en la página 25 de estas notas . Mi impresión del argumento es así:

  • Todas las partículas en un supermultiplete deben transformarse de la misma manera bajo simetrías internas.
  • Todas las partículas sin masa con helicidad. | λ | = 1 debe crearse mediante campos de calibre, porque la simetría de calibre es la única forma de deshacerse de los grados de libertad adicionales.
  • Los campos de calibre deben transformarse bajo la representación adjunta de cualquier grupo de calibre, y para todos los grupos de matriz de Lie, la representación adjunta es real.
  • En SUSY extendido, con una excepción, todos los multipletes que contienen | λ | = 1 / 2 también contienen | λ | = 1 . Por lo tanto, solo podemos obtener fermiones en representaciones reales de cualquier grupo de calibre.
  • Esto es incompatible con la estructura quiral del Modelo Estándar, que requiere que los fermiones vivan en representaciones complejas, como los quarks zurdos, que están en la representación doblete de S tu ( 2 ) L .

Concedido que parafraseé el argumento correctamente, estoy bien con cada paso excepto el último paso, que simplemente no me parece correcto.

Aquí están los pensamientos preliminares que he tenido sobre esto:

  • Es ambiguo si estamos hablando de representaciones de campos o representaciones de partículas. Estos son diferentes, pero no he podido hacer que el argumento funcione de ninguna manera.
  • Es ambiguo si 'complejo' significa complejo 1 , es decir, el campo base son los números complejos, o complejo 2 , es decir, la representación es complejo 1 y no equivalente a su conjugado. Creo que la única opción sensata es complejo 2 .
  • La representación doblete de S tu ( 2 ) L no es complejo 2 ! Sólo hay una representación bidimensional de S tu ( 2 ) L por lo que necesariamente debe ser equivalente a su conjugado.
  • En esta respuesta se argumenta que si q L se transforma en una representación R , entonces q R se transforma en la representación conjugada R ¯ . Por lo tanto si R es real, q L y q R transforman de la misma manera, lo que contradice la observación. Pero esto parece claramente incorrecto, no es cierto para q L y q R en el Modelo Estándar!
Comentario menor a la publicación (v2): Considere mencionar explícitamente el autor, el título, etc. del enlace, para que sea posible reconstruir el enlace en caso de que se rompa.
Podría especificar por "simetría interna" que quiere decir uno que conmuta con el álgebra SUSY extendida, cuyas simetrías bosónicas globales está ignorando aquí ...
Tenga en cuenta que el S tu ( 2 ) el doblete es pseudoreal (cuaterniónico), no real.
@RyanThorngren Sí, pero creo que el uso común de "complejo" es "no real o pseudoreal".
@CosmasZachos ¡Sí, eso es lo que quiero decir aquí!

Respuestas (1)

  1. Debes estar hablando de las representaciones de los campos , ya que las partículas son estados cuánticos que siempre viven en un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita con representaciones unitarias correspondientes en él.

  2. Dejemos claro lo que realmente queremos decir con "quiralidad" del Modelo Estándar. Dado un fermión de Dirac ψ con sus partes quirales/fermiones de Weyl ψ L , ψ R , quiralidad significa que ψ L se transforma bajo una representación diferente de al menos un grupo de indicadores (el débil en el caso del SM) que ψ R . Para ver cómo se traduce exactamente esto a nuestro lenguaje natural ordinario de electrones y positrones zurdos/diestros, vea esta respuesta mía a una pregunta suya anterior.

  3. El significado de "complejo" aquí es "no real", no "complejo" como en "no real o pseudoreal". Para conocer la diferencia entre real, pseudoreal y complejo, vea esta respuesta mía a otra pregunta anterior suya.

  4. Cuando decimos que "un espinor de Weyl" ψ R / L se transforma en la representación ρ de un grupo gauge, lo que realmente tendríamos que decir formalmente que el objeto se transforma en la representación combinada ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ dónde ( 1 / 2 , 0 ) es la notación habitual para la representación de Weyl spinor del grupo de Lorentz.

  5. Finalmente, estamos en condiciones de observar lo siguiente: dado un multiplete sin masa con un fermión de Weyl de cualquier lado y una representación real del grupo de calibre, podemos dividir el resultado del producto tensorial ya que podemos dividir la representación real ρ en dos representaciones en espacios vectoriales reales como ρ R + j ρ R , dónde j es básicamente un mapa de conjugación complejo:

    ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ = ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ R ) ⊕ ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ j ρ R )

Todo lo que queda por hacer es observar que ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ j ρ R es equivalente a j ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ R , y eso j ( 1 / 2 , 0 ) = ( 0 , 1 / 2 ) - la representación conjugada de un fermión de Weyl de mano izquierda es un fermión de Weyl de mano derecha. Por lo tanto, elegir una representación real ρ del grupo de calibre para un fermión de Weyl en realidad da como resultado que el fermión de Weyl se transforme en ρ R y su versión de quiralidad opuesta también transformándose en ρ R , explicando por qué las representaciones reales nunca pueden conducir a teorías quiralmente simétricas.

Obsérvese también que este argumento falla para una representación pseudoreal, que también resuelve la aparente contradicción con el doblete de S tu ( 2 ) L siendo "no complejo".

Estoy de acuerdo con todo lo que dices en los primeros puntos. A lo largo de los años, he hecho varias preguntas sobre la conjugación de cargas, la quiralidad y la helicidad, y tengo que agradecerles por enseñarme pacientemente los puntos esenciales. (Creo que finalmente tengo una comprensión completa, escrita aquí ).
Sin embargo, creo que estamos trabajando a partir de diferentes definiciones de lo que es una "teoría de calibre quiral". Estoy de acuerdo con su razonamiento dada su definición, pero considere las partículas en una teoría con solo un campo de Weyl quiral izquierdo que se transforma en un S tu ( 2 ) doblete. Tenemos cuatro, correspondientes a la helicidad. ± 1 / 2 , y " I 3 " valor ± 1 / 2 . Todo es perfectamente simétrico bajo el operador de conjugación de carga C ^ , así como PAG ^ . Esperaría que una "teoría de calibre quiral" no sea C ^ y PAG ^ simétrico.
Para resumir, creo que usted define una teoría de calibre quiral de modo que una teoría de calibre no quiral es aquella en la que puede emparejar espinores de Weyl quirales izquierdos y quirales derechos en representaciones reales. Pero en cambio, defino una teoría de calibre quiral como aquella que viola C ^ y PAG ^ ; entonces una representación pseudoreal no puede ser quiral. Los artículos sobre esto parecen simplemente decir que una teoría de calibre quiral tiene una representación compleja, pero ya sabemos que esta palabra es ambigua. ¿Tienes una referencia definitiva aquí?
@knzhou: FWIW, la definición de Wikipedia está de acuerdo con la mía. Veré si puedo encontrar mejores referencias, pero puede llevar un tiempo.
¡No te preocupes, es solo un problema de semántica! En cualquier caso, la representación completa del fermión SM no es pseudoreal, por lo que cualquier definición funciona bien allí.
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