¿Se utiliza la teoría de grupos en el estudio de la supersimetría?

En general, cuando se describen las simetrías de una teoría en física, se trata automáticamente de la teoría de grupos, y la supersimetría no es un caso excepcional.

El teorema de no-go de Coleman-Mandula en esencia establece que cualquier QFT (bajo ciertas suposiciones) solo puede realizar simetrías como un producto directo del grupo de Poincaré y un grupo interno. La supersimetría surge naturalmente en este contexto al considerar los generadores de espinores. Todo esto está ambientado en el lenguaje de la teoría de grupos y representaciones.

Para los más inclinados a las matemáticas, como se explica en Supersimetría y supergravedad , uno puede llegar a la supersimetría considerando álgebras de Lie graduadas , y esto se extiende a cómo el superespacio se considera naturalmente después de estudiar espacios vectoriales graduados .

Sin embargo, la noción de supercampo y superespacio también surge directamente de la teoría de grupos. Si pensamos en el álgebra SUSY como uno de los parámetros anti-conmutación, podemos definir un elemento de grupo,

$$G(x,\theta,\bar\theta) = \exp \left(-ix^mP_m + \theta Q + \bar\theta \bar Q\right)$$

y al interpretar la multiplicación de grupos como un movimiento en el espacio de parámetros, se pueden definir operadores diferenciales$Q$y$\bar Q$para la multiplicación por la izquierda (así como para la multiplicación por la derecha). Naturalmente llegamos a la pregunta: ¿sobre qué actúan estos operadores? La respuesta es funciones en este espacio de parámetros: supercampos.

De la misma manera que podemos construir escalares de Lorentz, podemos construir objetos que se transformen adecuadamente bajo transformaciones de supersimetría con estos supercampos (compuestos por campos componentes), lo que nos permite construir lagrangianos, pero la idea general se basa primero en la teoría de grupos.