¿Se pueden ver los campos cuánticos como superposiciones de campos clásicos?

Al final de mi clase de mecánica cuántica de pregrado, analizamos los fonones. puedes dejar X i sea ​​el operador de posición de un oscilador armónico cuántico n-ésimo y acople los osciladores armónicos con un potencial. El hamiltoniano se parece a:

H = ∑ i ( pag i 2 2 metro + 1 2 metro ω 2 X i 2 ) + ∑ i 1 2 metro ω 2 ( X i − X i + 1 ) 2

Puede hacer el procedimiento de subir y bajar operadores para encontrar:

H = ∑ k ℏ ω k ( a k † a k + 1 2 )

e incluso descubra que el estado fundamental en la base de posición se parece a lo siguiente (ignorando las frecuencias exactas y la normalización y todo eso):

⟨ X 1 , ⋯ , X norte | ψ ⟩ = mi − X 1 2 − X 2 2 − ⋯ − X norte 2
o equivalente,

| ψ ⟩ = ∫ d norte   X mi − X 1 2 − X 2 2 − ⋯ − X norte 2 | X 1 , ⋯ , X norte ⟩

El a k † los operadores se interpretan como la creación de un fonón en el modo k-ésimo.

Tomando el límite continuo, hemos cuantificado la ecuación de onda escalar. Quiero escribir algo como lo siguiente para el estado fundamental:

| ψ ⟩ = ∫ D [ ϕ ] mi − ∫ d d y ϕ ( y ) 2 | ϕ ⟩

Estoy estudiando la teoría cuántica de campos elemental y me resulta difícil obtener una respuesta directa sobre si esa es una interpretación correcta de una teoría cuántica de campos. Para la electrodinámica, tendría observables conmutables mi → y B → en cada punto del espacio. (Conmutando porque quiero que formen una base completa de estados). Podría representar el campo como superposiciones de vectores propios de estos operadores y obtener algo como arriba. Si mi ( y ) y B ( y ) son campos vectoriales que son valores propios de los operadores anteriores en cada punto del espacio, lo que significa que podría imaginar escribir cualquier estado cuántico de mi electrodinámica cuantificada como algo así como:

| ψ ⟩ = ∫ D [ ( mi , B ) ] F ( mi , B ) | ( mi , B ) ⟩

donde las seis componentes del campo vectorial ( mi ( y ) , B ( y ) ) desempeñar el mismo papel que ϕ ( y ) hizo en el ejemplo anterior, y como ( X 1 , ⋯ , X norte ) hizo en el ejemplo antes de eso. F ( mi , B ) sería un número complejo que es un funcional de los campos mi y B .

Claro, espero que la falta de definición y los infinitos y los cortes sean necesarios en todas partes, pero ¿es esto intuitivamente lo que está sucediendo al definir los campos cuánticos?

Creo que esto se llama funcional de ondas; esto es para la imagen QFT habitual como la imagen de Schrödinger es para la imagen de Heisenberg en QM. Desafortunadamente no sé mucho más que el nombre.
Sin embargo, no estoy seguro de si esto da una mejor imagen física del estado de un campo cuántico. El espacio funcional de ondas es realmente de alta dimensión.
Preguntas relacionadas: physics.stackexchange.com/questions/248754/… y enlaces dentro.
Pregunta relacionada 312006 .
De hecho, su estado fundamental |ψ> es perfecto: un producto tensorial infinito de gaussianas de estado fundamental del oscilador, cada una de ellas como | 0 ⟩ = ∫ d X | X ⟩ ⟨ X | 0 ⟩ ∼ ∫ d X   Exp ⁡ ( − X 2 / 2 )   | X ⟩ . Las características gaussianas funcionales en todas las introducciones funcionales de ondas de Schr. Para el |ψ> general ver el enlace.

Respuestas (2)

Como se indica en algunos de los comentarios, el funcional de ponderación dentro de la integral funcional a veces se denomina funcional de onda. Este tipo de representación funcional puede denominarse representación funcional de Schroedinger. Consulte la siguiente reseña de Roman Jackiw.

Para una teoría general de campos interactivos, la solución exacta para este funcional de onda es, por supuesto, desconocida. Pero una conjetura educada de un funcional de onda aproximado con posiblemente un número finito de parámetros libres puede conducir a soluciones aproximadas útiles.

Este método fue sugerido por Jackiw en la revisión anterior. Este método variacional se ha utilizado para reproducir los resultados de perturbación de QED y QCD. (Por favor vea este artículo de Heinemann, Iancu, Martin, Vautherin).

El enfoque variacional se encuentra bajo investigación activa para obtener una explicación del confinamiento de quarks; consulte un trabajo reciente de Vastag, Reinhardt y Campagnari. Sin embargo, en dimensiones 3+1 es difícil trabajar sin fijar el calibre, lo que arroja dudas sobre las conclusiones no perturbativas debido al problema de Gribov. En la mayoría de los casos, el funcional de onda de prueba se toma como gaussiano.

Es muy plausible que este método se pueda adaptar a todos los modelos en 1+1 dimensiones que se pueden resolver mediante una transformación de Bogoliubov.

Además, existe una solución no gaussiana conocida para la teoría pura de Yang-Mills conocida como el estado de Kodama dada por la exponencial del funcional de Chern-Simons. Esta solución satisface exactamente la ecuación funcional de Schroedinger. Este funcional de onda se considera no físico, sin embargo, consulte el siguiente artículo de Witten que describe algunas propiedades interesantes de este estado.

Una teoría cuántica de campos definida por un lagrangiano y condiciones de contorno puede conducir a diferentes soluciones, cada una de las cuales describe una cuantificación no equivalente. Por lo tanto, existe la posibilidad de que estas diferentes cuantizaciones correspondan a diferentes soluciones de los funcionales de ondas de vacío, por lo que las soluciones de las ecuaciones funcionales de Schroedinger son plausiblemente no únicas.

¡Gracias por proporcionar tantas fuentes! A mi nivel me cuesta entender el último párrafo. Entiendo que una cuantización de un sistema clásico es un operador lagrangiano correspondiente (tratado en el sentido de integral de trayectoria) o hamiltoniano. ¿Quiere decir que tiene una cuantización, pero múltiples estados fundamentales? ¿O alternativamente, un hamiltoniano/lagrangiano, pero múltiples operadores de evolución temporal válidos?
Quise decir que es posible que la solución al Schroedinger funcional no sea única, y cualquiera de estas soluciones puede describir un posible sistema cuántico.

Quería responder directamente a su pregunta final.

Sí, estás en el camino correcto aquí. Debería esperar para cualquier teoría cuántica de campos que haya un conjunto de observables (al igual que los operadores de coordenadas X i en la mecánica cuántica de partículas puntuales) cuyos vectores propios forman una base del espacio de Hilbert. Estos observables deberían incluso ser observables locales, como los observables de valor de campo escalar de tiempo cero ϕ ( X → , 0 ) .

Hay dos fuentes de complicación.

Primero, se necesita una letra pequeña analítica para lidiar con el hecho de que las ubicaciones de los observables X → son continuos. Esto conduce a distribuciones, regularizaciones e infinitos.

En segundo lugar, la mayoría de los QFT interesantes tienen dinámicas restringidas. Para la teoría de campos escalares, tiene suerte y puede (letra pequeña analítica del módulo) abarcar el espacio de Hilbert con vectores propios de los valores de campo observables ϕ ( X → , 0 ) . Pero para la mayoría de las otras QFT lagrangianas (Dirac, Maxwell, Yang-Mills y sus diversas combinaciones), las restricciones implican que la 'base' de todos los vectores propios de operadores de valores de campo simultáneos es demasiado completa o incoherente. (Por ejemplo, la base del valor del campo eléctrico y magnético que usted sugiere tiene demasiados grados de libertad. El campo eléctrico es básicamente una variable de momento conjugada con el vector potencial. Usarlo además de los operadores de valor B es como intentar expandir un espacio de Hilbert de partículas puntuales con operadores de momento y posición).

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