Suma parcial de coeficientes binomiales n elige k multiplicado por k para k de n/2+1 a n

Question

Suma parcial de coeficientes binomiales n elige k multiplicado por k para k de n/2+1 a n

suma
Matemáticas
combinatoria
coeficientes binomiales

usuario439907

¿Para qué sirve una expresión de forma cerrada?

\sum_{k = norte / 2 + 1}^{norte} k (\binom{norte}{k})

$\sum_{k=n/2+1}^n k {n \choose k}$ He visto Suma de coeficientes binomiales por un polinomio , que está bastante cerca pero aún no resuelve este caso en el que la suma es parcial. Algunas sugerencias también se encuentran en Suma de combinaciones de n tomadas de k, donde k es de n a (n/2)+1, pero no veo cómo combinar las dos.

Exodd

solo reescribe

k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1})

$k {n\choose k }= n {n-1 \choose k-1}$

usuario439907

¿Puedes ampliar más? No me queda claro...

Respuestas (2)

Suma parcial de coeficientes binomiales n elige k multiplicado por k para k de n/2+1 a n

favorito · Answer 1

No estoy seguro de lo que quieres decir con $\frac{n}{2}$ ya que no es necesariamente un número entero, pero presumiblemente quiere decir que es el piso o el techo. En cualquier caso, puede utilizar la identidad

(\binom{norte}{k}) = \frac{norte}{k} (\binom{norte - 1}{k - 1})

$\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$ para enteros

n \geq k \geq 1

$n\ge k\ge 1$ en cada expresión y usar el hecho de que la suma de los elementos de la

n^{th}

$n^{\text{th}}$ fila del triángulo de Pascal es

2^{n} .

$2^n.$ (Aunque tendrás que dividirlo por la mitad y sumar o restar un término, usando la simetría derecha-izquierda del triángulo de Pascal

(\binom{p}{q}) = (\binom{p}{p - q})

$\binom{p}{q}=\binom{p}{p-q}$ )

Alex · Answer 2

Tienes $S = S_n - S_{\frac{n}{2}}$ , para obtener cada suma, siga la sugerencia de @Exodd y use la forma cerrada de la suma binomial para todos los términos entre $0$ y también) $n$ o $\frac{n}{2}$ .

Suma parcial de coeficientes binomiales n elige k multiplicado por k para k de n/2+1 a n

usuario439907

Exodd

usuario439907

Respuestas (2)

favorito

Alex

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Suma del producto de coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Prueba combinatoria de ∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+m−im)(ni)∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+ m−im)(ni) \sum \limits_{i = 0} ^{m} 2^{ni} {n \choose i}{m \choose i} = \sum\limits_{i=0}^m { n + m - yo \elegir m} {n \elegir i}

Prueba combinatoria para la identidad ∑nk=0(nk)(−2)k=(−1)n∑k=0n(nk)(−2)k=(−1)n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-2\right)^k = (-1)^n

Multiplicar tres factoriales con tres binomios en identidad polinomial

Demostrar que C(n,0)+C(n+1,1)+⋯+C(n+r,r)=C(n+r+1,r).C(n,0)+C(n +1,1)+⋯+C(n+r,r)=C(n+r+1,r).C(n,0) + C(n+1,1) +\dots+ C(n+ r,r) = C(n+r+1,r). [duplicar]

Verificación de la solución: Demuestre que ∑ni=0(n+an−i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)∑i=0n(n+an− i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{ni}\ binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1} para n ≥1n≥1n\geq 1

Demostrar una identidad combinatoria que involucre la suma del producto de coeficientes binomiales