Verificación de la solución: Demuestre que ∑ni=0(n+an−i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)∑i=0n(n+an− i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{ni}\ binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1} para n ≥1n≥1n\geq 1

Question

Verificación de la solución: Demuestre que ∑ni=0(n+an−i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)∑i=0n(n+an− i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{ni}\ binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1} para n ≥1n≥1n\geq 1

suma
Matemáticas
combinatoria
pruebas combinatorias
coeficientes binomiales
solución-verificación

Rezha Adrián Tanuharja

Lo resolví contando el mismo objeto usando diferentes métodos. decir que hay $n+a$ chicos y $1$ chica. Quiero formar un equipo de $a+1$ niños con algunos jugadores de reserva, pero quiero que la niña esté en el equipo o al menos sea jugadora de reserva.

Método 1

primero selecciono $i+a$ chicos, luego de estos y la chica ( $i+a+1$ niños) yo selecciono $a+1$ estar en el equipo mientras el resto ( $i$ niños) serán los jugadores de reserva. El número de posibilidades es;

$\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{i+a}\binom{i+a+1}{a+1}}= \sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{n-i}\binom{i+a+1}{i}}$

Método 2

Si la chica está en el equipo, entonces necesito seleccionar $a$ muchachos para completar el equipo mientras que el resto $n$ los chicos pueden ser jugadores de reserva o no. El número de posibilidades es;

$2^{n}\binom{n+a}{a}$

Si la chica es solo una jugadora de reserva, necesito seleccionar $a+1$ muchachos para estar en el equipo mientras el resto $n-1$ los chicos pueden ser jugadores de reserva o no. El número de posibilidades es;

$2^{n-1}\binom{n+a}{a+1}$

Conclusión

Dado que ambos métodos cuentan los mismos objetos, puedo concluir que;

$\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{n-i}\binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1}$

Quiero saber si mi solución es correcta y si hay alguna solución diferente.

saulspatz

Me parece correcto.

Respuestas (2)

Verificación de la solución: Demuestre que ∑ni=0(n+an−i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)∑i=0n(n+an− i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{ni}\ binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1} para n ≥1n≥1n\geq 1

Marko Riedel · Answer 1

OP pide una evaluación alternativa de

\sum_{q = 0}^{norte} (\binom{norte + a}{norte - q}) (\binom{a + 1 + q}{q}) .

$\sum_{q=0}^n {n+a\choose n-q} {a+1+q\choose q}.$

Tenemos por inspección que esto es

[z^{norte}] (1 + z)^{norte + a} \frac{1}{(1 - z)^{a + 2}}

$[z^n] (1+z)^{n+a} \frac{1}{(1-z)^{a+2}}$

que es a su vez

\underset{z}{r mi s} \frac{1}{z^{norte + 1}} (1 + z)^{norte + a} \frac{1}{(1 - z)^{a + 2}} .

$\underset{z}{\mathrm{res}}\; \frac{1}{z^{n+1}} (1+z)^{n+a} \frac{1}{(1-z)^{a+2}}.$

ahora ponemos $z/(1+z) = w$ de modo que $z=w/(1-w)$ y $dz = 1/(1-w)^2 \; dw$ Llegar

\underset{w}{r mi s} \frac{1}{w^{norte}} \frac{1 - w}{w} \frac{1}{(1 - w)^{a}} \frac{(1 - w)^{a + 2}}{(1 - 2 w)^{a + 2}} \frac{1}{(1 - w)^{2}} = \underset{w}{r mi s} \frac{1 - w}{w^{norte + 1}} \frac{1}{(1 - 2 w)^{a + 2}} .

$\underset{w}{\mathrm{res}}\; \frac{1}{w^n} \frac{1-w}{w} \frac{1}{(1-w)^a} \frac{(1-w)^{a+2}}{(1-2w)^{a+2}} \frac{1}{(1-w)^2} \\ = \underset{w}{\mathrm{res}}\; \frac{1-w}{w^{n+1}} \frac{1}{(1-2w)^{a+2}}.$

Esto es

[w^{norte}] (1 - w) \frac{1}{(1 - 2 w)^{a + 2}} = 2^{norte} (\binom{norte + a + 1}{a + 1}) - 2^{norte - 1} (\binom{norte + a}{a + 1}) = 2^{norte} \frac{norte + a + 1}{a + 1} (\binom{norte + a}{a}) - 2^{norte - 1} (\binom{norte + a}{a + 1}) = 2^{norte} (\binom{norte + a}{a}) + 2^{norte} \frac{norte}{a + 1} (\binom{norte + a}{a}) - 2^{norte - 1} (\binom{norte + a}{a + 1}) = 2^{norte} (\binom{norte + a}{a}) + 2^{norte - 1} (\binom{norte + a}{a + 1})

$[w^n] (1-w) \frac{1}{(1-2w)^{a+2}} = 2^n {n+a+1\choose a+1} - 2^{n-1} {n+a\choose a+1} \\ = 2^n \frac{n+a+1}{a+1} {n+a\choose a} - 2^{n-1} {n+a\choose a+1} \\ = 2^n {n+a\choose a} + 2^n \frac{n}{a+1} {n+a\choose a} - 2^{n-1} {n+a\choose a+1} \\ = 2^n {n+a\choose a} + 2^{n-1} {n+a\choose a+1}$

cual es el reclamo.

Rezha Adrián Tanuharja · Answer 2

Inspirado por la respuesta de Marko Riedel, reconocí que ambas expresiones dan el coeficiente de $x^{a+1}$ de $\left(1+x\right)\left(2+x\right)^{n+a}$ por lo que podemos concluir que

\sum_{i = 0}^{norte} (\binom{norte + a}{norte - i}) (\binom{i + a + 1}{i}) = 2^{norte} (\binom{norte + a}{a}) + 2^{norte - 1} (\binom{norte + a}{a + 1})

$\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{n-i}\binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1}$

Además, podemos usar el mismo método para obtener otro resultado:

\sum_{i = 0}^{norte} {(- 1)}^{i} (\binom{norte + a}{norte - i}) (\binom{i + a + 1}{i}) = 0 \forall norte \geq 2

$\sum_{i=0}^{n}{\left(-1\right)^{i}\binom{n+a}{n-i}\binom{i+a+1}{i}}=0\phantom{x}\phantom{x}\forall\phantom{x}n\geq2$

Verificación de la solución: Demuestre que ∑ni=0(n+an−i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)∑i=0n(n+an− i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{ni}\ binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1} para n ≥1n≥1n\geq 1

Rezha Adrián Tanuharja

saulspatz

Respuestas (2)

Marko Riedel

Rezha Adrián Tanuharja

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Prueba combinatoria para la identidad ∑nk=0(nk)(−2)k=(−1)n∑k=0n(nk)(−2)k=(−1)n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-2\right)^k = (-1)^n

Prueba combinatoria de ∑k=0n(nk)3k=4n∑k=0n(nk)3k=4n\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k}3^k=4^n

Interpretación combinatoria para la identidad ∑i(mi)(nj−i)=(m+nj)∑i(mi)(nj−i)=(m+nj)\sum\limits_i\binom{m}{i}\ binom{n}{ji}=\binom{m+n}{j}?

Demuestra que ∑a2bc=(n+36)+(n+26)∑a2bc=(n+36)+(n+26)\sum{a^{2}bc}=\binom{n+3}{6 }+\binom{n+2}{6}

Demuestra que para r,n∈Nr,n∈Nr,n \in \mathbb{N} con r≥nr≥nr \geq n, ∑n−1i=0(−1)i(ni)(r+n− i−1r)=(r−1n−1)∑i=0n−1(−1)i(ni)(r+n−i−1r)=(r−1n−1)\sum_{i=0} ^{n-1} (-1)^i \binom{n}{i} \binom{r+ni-1}{r} = \binom{r-1}{n-1}

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Suma del producto de coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Prueba combinatoria sobre factoriales decrecientes y sumas de factoriales decrecientes