Demostrar una identidad combinatoria que involucre la suma del producto de coeficientes binomiales

$$\sum_{i=s}^{n+s-r}\frac{\binom{i-1}{s-1}\binom{n-i}{r-s}}{\binom{n}{r}}=\binom{n}{r}^{-1}\;\;\sum_{i=s}^{n+s-r}\binom{i-1}{i-s}\binom{n-i}{n-i-r+s}$$ $$=\binom{n}{r}^{-1}\;\;\sum_{i=s}^{n+s-r}\left(-1\right)^{i-s}\binom{-s}{i-s}\left(-1\right)^{n-r+s-i}\binom{-r+s-1}{n-i-r+s}$$ $$=\binom{n}{r}^{-1}\left(-1\right)^{n-r}\;\;\sum_{i=s}^{n+s-r}\binom{-s}{i-s}\binom{-r+s-1}{n-i-r+s}$$ $$=\binom{n}{r}^{-1}\left(-1\right)^{n-r}\binom{-r-1}{n-r}=\binom{n}{r}^{-1}\binom{n}{n-r}=\binom{n}{r}^{-1}\binom{n}{r}=1$$

Por lo tanto demostramos que:

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{\sum_{i=s}^{n+s-r}\frac{\binom{i-1}{s-1}\binom{n-i}{r-s}}{\binom{n}{r}}=1}$$

Como se desee.

Para (1) puedes darle la vuelta al argumento.

Si estamos sacando bolas (sin reemplazo) de una urna que contiene$n$bolas de las cuales$r$están marcados, luego considere el evento de que el$i$El sorteo da como resultado el$s$se extrae la bola marcada. Esto corresponde al caso cuando el anterior$(i-1)$los sorteos han resultado en el sorteo de$s-1$bolas marcadas (cuya probabilidad es hipergeométrica y está dada por$\frac{\binom{r}{s-1}\binom{n-r}{i-s}}{\binom{n}{x-1}}$) y el caso de que el$i$El sorteo resulta en el sorteo de una bola marcada (cuya probabilidad es$\frac{r-s+1}{n-i+1}$es decir, la proporción de bolas marcadas que quedan) y, por lo tanto, tiene la probabilidad (en el sentido clásico) igual a$\frac{\binom{r}{s-1}\binom{n-r}{i-s}}{\binom{n}{x-1}}\cdot \frac{r-s+1}{n-i+1}=\frac{\binom{i-1}{s-1}\binom{n-i}{r-s}}{\binom{n}{r}}$. La probabilidad total debe sumar$1$y esto prueba la identidad (los límites son precisamente el soporte de$i$).

Esto se conoce como distribución hipergeométrica negativa por algunos autores.