Demostrar que C(n,0)+C(n+1,1)+⋯+C(n+r,r)=C(n+r+1,r).C(n,0)+C(n +1,1)+⋯+C(n+r,r)=C(n+r+1,r).C(n,0) + C(n+1,1) +\dots+ C(n+ r,r) = C(n+r+1,r). [duplicar]

Primero, tenga en cuenta que$\binom{m}{i} = \binom{m}{m-i}$, por lo que podemos reescribir su igualdad en

$$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} + \cdots + \binom{n+r}{n} = \binom{n+r+1}{n+1}$$ Y aquí está mi interpretación: tienes $n+r+1$bolas numeradas, y quieres elegir $n+1$de ellos. Esto obviamente se puede hacer en $\binom{n+r+1}{n+1}$maneras.

Ahora, dividamos esto en casos por el número más alto entre las bolas que elijas. Ese número no puede ser inferior a$n+1$, obviamente. Ahora, ¿cuántas maneras hay de elegir$n+1$bolas de modo que el mayor número en cualquiera de ellas sea$n+1$? Bueno, obviamente tienes que elegir el número de bola.$n+1$. Después de eso, tienes que elegir$n$bolas de la$n$bolas con menor número. Eso se puede hacer en$\binom nn$maneras.

Si el número más alto que elegimos es$n+2$, ¿de cuántas maneras se puede hacer eso? Tenemos que elegir el$n+2$pelota, y después de eso tenemos que elegir$n$bolas de la$n+1$bolas que son más pequeñas que$n+2$. Eso se puede hacer en$\binom{n+1}n$maneras. Etcétera. Sumando todas estas contribuciones juntas, esto finalmente se convierte en$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} + \cdots + \binom{n+r}{n}$.

Estas dos formas cuentan el mismo número de cosas, y por lo tanto el resultado debe ser el mismo.

Pista. Recuerde la propiedad fundamental de los coeficientes binomiales :

$$\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}.$$ Dejar $$S_n(r):=\sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k}$$ y probar por inducción con respecto a $r$. Tenga en cuenta que para el paso inductivo debe mostrar que $$S_n(r+1)=S_n(r)+\binom{n+r+1}{r+1}=\binom{n+r+1}{r}+\binom{n+r+1}{r+1}\stackrel{?}{=}\binom{n+r+2}{r+1}.$$