Solución de forma cerrada para series que involucran la función gamma incompleta

Question

Solución de forma cerrada para series que involucran la función gamma incompleta

integración
Matemáticas
función gamma
integrales impropias
secuencias y series
función hipergeométrica

aaron hendrickson

Estoy trabajando en una solución para un integral que conduce a una serie en la que estoy atascado. A continuación se muestra lo que he hecho y cómo llegué a la serie final. ¿Alguna idea sobre cómo resolver la serie al final?

\int_{- \infty}^{X} {mi}^{a X}_{1} F_{1} (- α; - β; - λ X) d X para X \leq 0

$\begin{equation} \int_{-\infty}^{x} e^{ax} \, {_{1}}F_{1}(-\alpha;-\beta;-\lambda x) \ \mathrm{d}x \quad \text{for} \, x\leq 0 \end{equation}$

dónde, $a,\alpha,\beta,\lambda>0$ .

Sustituto $u=-ax\to$ $\mathrm{d}u = -a \ \mathrm{d}x$

a^{- 1} \int_{- tu / a}^{\infty} {mi}^{- tu}_{1} F_{1} (- α; - β; \frac{λ}{a} tu) d tu

$\begin{equation} a^{-1}\int_{-u/a}^{\infty} e^{-u} \, {_{1}}F_{1}(-\alpha;-\beta;\tfrac{\lambda}{a} u) \ \mathrm{d}u \end{equation}$

En este punto no pude encontrar una solución de forma cerrada para la integral, así que escribí la función hipergeométrica confluente en su representación de suma.

a^{- 1} \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(- α)_{j}}{(- β)_{j} j!} {(\frac{λ}{a})}^{j} \int_{- tu / a}^{\infty} {mi}^{- tu} {tu}^{j} d tu

$\begin{equation} a^{-1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-\alpha)_{j}}{(-\beta)_{j}\, j!} \left(\frac{\lambda}{a}\right)^{j}\int_{-u/a}^{\infty} e^{-u} \, u^{j} \ \mathrm{d}u \end{equation}$

dónde, $(x)_{j}$ es el símbolo de Pochhammer.

Desde $u=-ax$ , y $x\leq 0$ , esto significa $-u/a\geq 0$ y la integral es una función gamma incompleta superior.

a^{- 1} \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(- α)_{j}}{(- β)_{j} j!} {(\frac{λ}{a})}^{j} Γ (j + 1, X)

$\begin{equation} a^{-1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-\alpha)_{j}}{(-\beta)_{j}\, j!} \left(\frac{\lambda}{a}\right)^{j}\ \Gamma(j+1,x) \end{equation}$

No sé cómo pasar de este punto. ¿Alguna idea sobre cómo resolver la suma?

De wolframalpha encontré la siguiente definición que también podría resultar útil:

γ (metro, X) = {metro}^{- 1} X^{metro}_{1} F_{1} (metro; metro + 1; - X)

$\begin{equation} \gamma(m,x) = m^{-1} x^{m} \, {_{1}}F_{1}(m; m+1; -x) \end{equation}$

dónde, $\Gamma(m) = \Gamma(m,x)+\gamma(m,x)$ .

ACTUALIZAR

Si $\alpha$ y $\beta$ son números enteros, entonces se puede encontrar una solución mediante la integración por partes. La solucion es:

a^{- 1} \sum_{k = 0}^{α} {(\frac{λ}{a})}^{k} {mi}^{a X}_{1} F_{1} (- α + k; - β + k, - λ X)

$\begin{equation} a^{-1}\sum_{k=0}^{\alpha} \left(\frac{\lambda}{a}\right)^{k} e^{ax}\, {_{1}}F_{1}(-\alpha+k;-\beta+k,-\lambda x) \end{equation}$

Estoy buscando el caso donde $\alpha$ y $\beta$ no son números enteros.

Jack D´Aurizio

Si

α, β \in N

$\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ , su función hipergeométrica es solo un polinomio y la forma cerrada es sencilla de calcular. No debería ser terriblemente difícil generalizar una forma tan cerrada para valores no enteros de

α, β

$\alpha,\beta$ .

aaron hendrickson

Jack, he resuelto este problema para el caso en que

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ son enteros usando ibp donde

u =_{1} F_{1} (- α; - β, - λ x)

$u={_{1}}F_{1}(-\alpha;-\beta,-\lambda x)$ y

d v = e^{a x}

$\mathrm{d}v = e^{ax}$ . Podría incluir esa respuesta en la publicación, pero la respuesta sigue siendo una serie como resultado del uso de ibp. Y no estoy seguro de cómo me ayudará a llegar a la solución general.

Jack D´Aurizio

Realicé algunos cálculos para el caso general y me quedé con una función hipergeométrica como término principal y una serie de

_{2} F_{2}

$\phantom{}_{2} F_2$ funciona como término secundario, que no parece simplificar más. Espero que eso ayude.

aaron hendrickson

Gracias Jack Le echaré un vistazo. Puede ser que no haya una solución de forma cerrada. Si no surge una respuesta mejor, aceptaré lo que publicaste.

Respuestas (2)

Solución de forma cerrada para series que involucran la función gamma incompleta

Si $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ , su función hipergeométrica es solo un polinomio y la forma cerrada es sencilla de calcular. No debería ser terriblemente difícil generalizar una forma tan cerrada para valores no enteros de $\alpha,\beta$ .
Jack, he resuelto este problema para el caso en que $\alpha$ y $\beta$ son enteros usando ibp donde $u={_{1}}F_{1}(-\alpha;-\beta,-\lambda x)$ y $\mathrm{d}v = e^{ax}$ . Podría incluir esa respuesta en la publicación, pero la respuesta sigue siendo una serie como resultado del uso de ibp. Y no estoy seguro de cómo me ayudará a llegar a la solución general.
Realicé algunos cálculos para el caso general y me quedé con una función hipergeométrica como término principal y una serie de $\phantom{}_{2} F_2$ funciona como término secundario, que no parece simplificar más. Espero que eso ayude.
Gracias Jack Le echaré un vistazo. Puede ser que no haya una solución de forma cerrada. Si no surge una respuesta mejor, aceptaré lo que publicaste.

harry pedro · Answer 1

$\int_{-\infty}^xe^{ax}{_1}F_1(-\alpha;-\beta;-\lambda x)~dx$

$=\int_\infty^{-x}e^{-ax}{_1}F_1(-\alpha;-\beta;\lambda x)~d(-x)$

$=\int_{-x}^\infty e^{-ax}{_1}F_1(-\alpha;-\beta;\lambda x)~dx$

$=\int_{-x}^\infty\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^nx^ne^{-ax}}{(-\beta)_nn!}~dx$

$=\int_0^\infty\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^nx^ne^{-ax}}{(-\beta)_nn!}~dx-\int_0^{-x}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^nx^ne^{-ax}}{(-\beta)_nn!}~dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^n}{(-\beta)_na^{n+1}}+\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^nx^ke^{-ax}}{(-\beta)_nk!a^{n-k+1}}\right]_0^{-x}$ (según http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions )

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^n}{(-\beta)_na^{n+1}}-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^n}{(-\beta)_na^{n+1}}+\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^n(-1)^kx^ke^{ax}}{(-\beta)_nk!a^{n-k+1}}$

$=\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{n=k}^\infty\dfrac{(-\alpha)_n\lambda^n(-1)^kx^ke^{ax}}{(-\beta)_nk!a^{n-k+1}}$

$=\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-\alpha)_{n+k}\lambda^{n+k}(-1)^kx^ke^{ax}}{(-\beta)_{n+k}k!a^{n+1}}$

$=\dfrac{e^{ax}}{a}\Phi_1\left(-\alpha,1,-\beta;\dfrac{\lambda}{a},-\lambda x\right)$ (según http://en.wikipedia.org/wiki/Humbert_series )

Quiero verificar esta respuesta. Dame una oportunidad y aceptaré si se verifica. Gracias.
De hecho, este es el truco similar a math.stackexchange.com/questions/1071168

Jack D´Aurizio · Answer 2

Dejar $z=-x$ . Queremos calcular:

\int_{z}^{+ \infty} {mi}^{- a t}_{1} F_{1} (- α, - β, λ t) d t = \sum_{norte \geq 0} \frac{λ^{norte} (- α)_{norte}}{norte! (- β)_{norte}} \int_{z}^{+ \infty} {mi}^{- a t} t^{norte} d t

$\int_{z}^{+\infty} e^{-at}\phantom{}_1 F_1(-\alpha,-\beta,\lambda t)\,dt=\sum_{n\geq 0}\frac{\lambda^n(-\alpha)_n}{n!(-\beta)_n}\int_{z}^{+\infty}e^{-at}t^n\,dt$ dónde:

\begin{array}{rcl} \int_{z}^{+ \infty} {mi}^{- a t} t^{norte} d t & = & \frac{norte!}{a^{norte + 1}} - \int_{0}^{z} \sum_{metro \geq 0} \frac{(- a)^{metro}}{metro!} t^{metro + norte} d t \\ = & \frac{norte!}{a^{norte + 1}} - \sum_{metro \geq 0} \frac{(- a)^{metro} z^{metro + norte + 1}}{(metro + norte + 1) metro!} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{z}^{+\infty}e^{-at}t^n\,dt &=& \frac{n!}{a^{n+1}}-\int_{0}^{z}\sum_{m\geq 0}\frac{(-a)^m}{m!}\,t^{m+n}\,dt\\&=&\frac{n!}{a^{n+1}}-\sum_{m\geq 0}\frac{(-a)^m z^{m+n+1}}{(m+n+1)m!}\end{eqnarray*}$ da:

\int_{z}^{+ \infty} {mi}^{- a t}_{1} F_{1} (- α, - β, λ t) d t = \sum_{norte \geq 0} \frac{λ^{norte} (- α)_{norte}}{a^{norte + 1} (- β)_{norte}} - \sum_{norte \geq 0} \sum_{metro \geq 0} \frac{λ^{norte} (- α)_{norte} (- a)^{metro} z^{metro + norte + 1}}{metro! norte! (- β)_{norte} (metro + norte + 1)}

$\int_{z}^{+\infty} e^{-at}\phantom{}_1 F_1(-\alpha,-\beta,\lambda t)\,dt=\sum_{n\geq 0}\frac{\lambda^n (-\alpha)_n}{a^{n+1}(-\beta)_n}-\sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 0}\frac{\lambda^n(-\alpha)_n(-a)^m z^{m+n+1}}{m!n!(-\beta)_n(m+n+1)}$ donde la primera serie es igual

\frac{1}{a}

$\frac{1}{a}$ veces

_{2} F_{1} (1, - α; - β; \frac{λ}{a})

$\phantom{}_2 F_1\left(1,-\alpha;-\beta;\frac{\lambda}{a}\right)$ y la segunda serie doble se puede poner de la siguiente forma cambiando el orden de la suma:

\sum_{metro \geq 0} \frac{(- a)^{metro} z^{metro + 1}}{(metro + 1)!}_{2} F_{2} (1 + metro, - α; 2 + metro, - β; λ z) .

$\sum_{m\geq 0}\frac{(-a)^m z^{m+1}}{(m+1)!}\phantom{}_2 F_2\left(1+m,-\alpha;2+m,-\beta;\lambda z\right).$

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harry pedro

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Jack D´Aurizio

Derivando la propiedad de la Función Gamma

Demostrando identidades interesantes para una integral involucrando producto de funciones hipergeométricas confluentes.

Calcular ∫∞0x2r(1+x2)m⋅Γ(m)Γ(1/2)Γ(m−1/2)dx∫0∞x2r(1+x2)m⋅Γ(m)Γ(1/2 )Γ(m−1/2)dx\int_0^\infty\frac{x^{2r}}{(1+x^2)^m}\cdot \frac{\Gamma(m)}{\Gamma( 1/2)\Gamma(m-1/2)}dx usando la función beta

Forma cerrada para una serie infinita que involucra funciones gamma incompletas inferiores

Evaluando esta integral usando la función Gamma

Las integrales ∫∞0dx(a+bxc)d(e+fxg)h∫0∞dx(a+bxc)d(e+fxg)h\int_0^\infty \frac{\mathrm{d}x}{( a+bx^c)^d(e+fx^g)^h} y ∫∞0xe(a+bxc)ddx∫0∞xe(a+bxc)ddx\int_0^\infty \frac{x^e} {(a+bx^c)^d}\mathrm{d}x

Entender la derivación de la función Gamma usando integración por partes.

Una expresión general simple para una integral definida

¿Forma cerrada para esta serie gamma incompleta?

La integral indefinida ∫Li2(x)1+x√dx∫Li2⁡(x)1+xdx\int\frac{\operatorname{Li}_2(x)}{1+\sqrt{x}}\,dx: ¿Cuál es la estrategia para obtener tal integral indefinida?