La integral indefinida ∫Li2(x)1+x√dx∫Li2⁡(x)1+xdx\int\frac{\operatorname{Li}_2(x)}{1+\sqrt{x}}\,dx: ¿Cuál es la estrategia para obtener tal integral indefinida?

Aquí hay una integral que he encontrado jugando con la calculadora en línea Wolfram Alpha (así que para mí es una curiosidad que tiene integral indefinida)

(1) ∫ li 2 ⁡ ( X ) 1 + X d X ,
donde la función en el numerador del integrando es el polilogaritmo

(2) li 2 ⁡ ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k 2 ,
consulte el artículo relacionado de MathWorld si desea obtener más información sobre esta función especial.

Pregunta. A mi me parece difícil sacar la integral indefinida que nos proporciona la calculadora online Wolfram Alpha. Pero, ¿puede darme las ideas o los primeros cálculos para calcular tal integral indefinida? Es decir, imagina que necesito explicarle a un amigo/colega un borrador sobre la estrategia para obtener esa integral indefinida. Entonces, ¿cuál es la receta que necesito explicarle para justificar desde arriba (sin todos los detalles tediosos) la integral indefinida? Muchas gracias.

Cuando estaba jugando, antes de conocer una forma tan cerrada de la integral indefinida, mi intención era justificar

∫ 0 1 li 2 ⁡ ( X ) 1 + X d X .

Digo estas palabras para indicar cuales son mis intenciones, creo que esta integral definida no es especial pero me interesó calcularla cuando pregunte al CAS mencionado.

Muchas gracias @AdrianKeister
La forma cerrada de la integral definida existe por Zetay derivative hypergeometricfunción.
@MariuszIwaniuk: Diría que existe una forma cerrada en términos de π 2 , registro ⁡ ( 2 ) y ζ ( 3 ) solo.
Muchas gracias por su atención y ayuda @MariuszIwaniuk
@ user243301 ¿Bastará con encontrar antiderivada sobre 0 ≤ X ≤ 1 ? (Se garantiza que el integrando tiene un valor real para tal X )
Sí, por supuesto, esta es la razón por la que agregué que mi propósito era calcular la integral definida sobre el intervalo unitario. Muchas gracias por su atención y ayuda @DavidH

Respuestas (1)

Una tentación natural es quitar la raíz cuadrada del denominador de la función integrando haciendo cumplir la sustitución X = tu 2 , luego expandiendo li 2 ( tu 2 ) como una serie de Maclaurin y convertir todo en una combinación de sumas de Euler, con suerte con un peso bajo. En efecto

∫ 0 1 li 2 ( X ) 1 + X = 2 ∫ 0 1 tu 1 + tu li 2 ( tu 2 ) d tu = 4 ∫ 0 1 [ 1 − 1 1 + tu ] ⋅ [ li 2 ( tu ) + li 2 ( − tu ) ] d tu
dónde
∫ 0 1 li 2 ( tu 2 ) d tu = − 4 + π 2 6 + 4 registro ⁡ ( 2 )
es sencillo y
∫ 0 1 li 2 ( tu ) 1 + tu d tu = π 2 6 registro ⁡ ( 2 ) − 5 8 ζ ( 3 ) , ∫ 0 1 li 2 ( − tu ) 1 + tu d tu = − π 2 12 registro ⁡ ( 2 ) + 1 4 ζ ( 3 )
ya han sido probados en MSE. Las técnicas involucradas son simplemente la integración por partes y las relaciones funcionales para la función de dilogaritmo (una función con sentido del humor , según D.Zagier).

Muchas gracias lo mío fue una simple curiosidad, estos fueron mis pensamientos. Y ahora veo que se puede enunciar una explicación tan sencilla, aunque la integral indefinida correspondiente parezca complicada. Pues sí, este tipo de integrales tienen sentido del humor.
Por lo tanto, es posible obtener la integral definida por sus comentarios (cambio de variables, li 2 ⁡ ( tu 2 ) = li 2 ⁡ ( tu ) + li 2 ⁡ ( − tu ) ), e integrales definidas notables), pero voy a esperar si hay usuarios que me proporcionen más comentarios sobre la integral indefinida correspondiente. ¡¡¡Muchas gracias!!!
La integral indefinida ∫Li2(x)1+x√dx∫Li2⁡(x)1+xdx\int\frac{\operatorname{Li}_2(x)}{1+\sqrt{x}}\,dx: ¿Cuál es la estrategia para obtener tal integral indefinida?
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