Otro método para calcular la suma

$$\sum_{n=0}^{\infty}(-\cos \beta)^{n} \frac{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}, \beta\in(o,\pi)$$

Respuesta:

$$\frac{\pi-2\arcsin\cos\beta}{2\sin\beta}=\frac{\beta}{\sin\beta}$$

Tengo una demostración indirecta, pero es más complicada. Creo que hay una manera más elegante de hacer esto.

Mi respuesta complicada:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{d} \alpha}{1+\cos \alpha \cos \beta} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=0}^{\infty}(-\cos \alpha \cos \beta)^{n} \mathrm{~d} \alpha \\ =\sum_{n=0}^{\infty}(-\cos \beta)^{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} \alpha \mathrm{d} \alpha \\ =\sum_{n=0}^{\infty}(-\cos \beta)^{n} \frac{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \\ $$ Por otro lado: $$\int \frac{d x}{1+\varepsilon \cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-\epsilon^{2}}} \operatorname{arctan}\left(\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}} \operatorname{tan} \frac{x}{2}\right)+C, \varepsilon\in(-1,1)$$ De esta manera, puedo obtener la respuesta. Pero es complicado. Así que necesito ayuda.