Suma de velocidades vs. Suma de fuerzas

Comenzaré mi respuesta partiendo del ejemplo específico, para brindar una respuesta más general. Al final, resumiré cómo se aplica la discusión general al ejemplo específico.

Centrémonos en tu observación de que

Tanto la velocidad como la fuerza son vectores.

Verdadero. Ambos son vectores, y una caracterización intrínseca de los vectores es que existe una suma de vectores. Sin embargo, aunque la suma de vectores es un concepto matemático bien definido (en esencia, la regla del paralelogramo), la aplicación de vectores en física no puede evitar el paso adicional de identificar cuidadosamente el significado físico de la suma.

Cuando identificamos la entidad física fuerza con vectores, implícita o explícitamente tenemos que proporcionar un significado operativo de todas las operaciones vectoriales (suma y multiplicación por un escalar). En mecánica clásica, si identificamos la presencia de una fuerza${\bf F}$por la aceleración resultante de una partícula de prueba, la suma de dos fuerzas aplicadas a la misma partícula y el producto de una fuerza por un escalar, están directamente relacionadas con la correspondiente suma de aceleraciones y multiplicación de aceleración por un escalar.

Observe que un ingrediente importante del concepto de suma de fuerzas es sumar solo fuerzas aplicadas al mismo cuerpo. Sin eso, tendríamos problemas si tratamos de sumar un par de fuerzas de acción-reacción. En un tono más matemático, podríamos decir que las fuerzas en diferentes cuerpos están en diferentes espacios vectoriales y, por lo tanto, no se pueden sumar.

Se puede hacer una discusión similar sobre las velocidades. Desplazamientos de un objeto puntual en un tiempo$\Delta t$, se puede representar mediante vectores. ¿Cómo lo sabemos? Simplemente definimos la suma de dos desplazamientos del mismo cuerpo como el desplazamiento resultante. Con esta definición, es un hallazgo físico no trivial que el orden de los dos desplazamientos no importa (la suma es conmutativa), que hay un desplazamiento cero. Existe un desplazamiento opuesto para cada desplazamiento tal que la suma de ambos es equivalente al desplazamiento cero. Además, es posible definir la multiplicación por un escalar, utilizando desplazamientos en la misma dirección. Tal multiplicación cumple todos los axiomas correspondientes en la definición de un espacio vectorial.

El punto clave es que la suma de desplazamientos como vectores tiene el significado físico de combinar diferentes desplazamientos de un mismo cuerpo . Cualquier cosa que se pueda decir sobre los desplazamientos, se puede decir sobre las velocidades, por supuesto.

En resumen, lo que se puede o no hacer al sumar entidades llamadas velocidades o fuerzas depende del significado físico que le demos a los conceptos matemáticos. No basta con tener cantidades vectoriales para sumarlas sin analizar qué tipo de vectores son.

Vayamos ahora al ejemplo. Las fuerzas sobre el mismo cuerpo se pueden sumar y esto daría como resultado una aceleración que es la suma de las aceleraciones presentes si solo estuviera presente una de las fuerzas a la vez. Sumar las velocidades de dos puntos diferentes del mismo cuerpo rígido no tiene sentido porque la posición del cuerpo (la caja) se identifica por un solo punto.

Tenga en cuenta que aclarar los conceptos detrás de la suma vectorial de velocidades es un requisito previo importante para evitar confusiones con las leyes de transformación de velocidades en diferentes marcos de referencia en Relatividad.

Dos cuerdas se tiran con la misma velocidad$u$. La caja también se moverá con velocidad.$u$.

No "jalas" una caja con una velocidad. Puedes jalarlo aplicando una fuerza que resulte en un cambio de velocidad. Imagina que tienes dos fuerzas actuando sobre la caja, una que le da una velocidad$\vec v$y el otro le da una velocidad$\vec w$. Entonces está bien decir que la velocidad resultante es$\vec v +\vec w$.

La tensión a lo largo de una cuerda es$T$. Por lo tanto, la fuerza total que actúa sobre la caja es$T+T=2T$.(La caja está acelerando)

En este caso, estás aplicando dos fuerzas a la caja, por lo que se suman para darte una fuerza resultante. El primer caso realmente no tiene sentido físicamente, pero el segundo caso sí.

Tanto la velocidad como la fuerza son vectores.

Sí lo son, y matemáticamente podemos sumar dos vectores cualquiera, pero al sumar vectores que representan cantidades físicas, debemos estar seguros de qué representan estas cantidades físicas.

En su primer ejemplo, no puede agregar diferentes velocidades en diferentes puntos del mismo cuerpo, ya que su velocidad está definida por el movimiento de traslación de un punto (generalmente el centro) del cuerpo (suponiendo que el cuerpo es rígido).

El segundo ejemplo con fuerzas funciona bien ya que la fuerza neta sobre un objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él, como lo has hecho.

Estás caminando por la calle con tu amigo. Ahora se dan la mano. ¿Te estás moviendo ahora el doble de rápido?

Si la suma de la velocidad funcionara así, obtendrías una tontería total. Siempre que dos objetos en movimiento se pegaran entre sí, se moverían más rápido.

Otra forma más matemática de verlo. La energía de un objeto de masa.$m$moviéndose a velocidad$v$es

Disculpa mi pobre ingles. El francés es mi lengua materna.

Para definir un vector, es necesario especificar el espacio vectorial en el que se define. En general, para una variedad, tenemos un espacio vectorial tangente en cada punto. En la física clásica, el espacio tiene una estructura de espacio plano afín y definimos en cada punto un espacio vectorial tangente que, para un espacio plano afín, todos pueden identificarse entre sí.

Es en este espacio vectorial tangente donde se define la suma de dos vectores. Se define así en cada punto el espacio vectorial de los desplazamientos. La suma vectorial de dos desplazamientos desde un punto es un desplazamiento. Al dividir por el tiempo, llegamos a los vectores de velocidad.

Por otro lado, existen dificultades para definir la derivada de la velocidad: comparamos vectores en diferentes puntos. Para poder hacer esto, tenemos que definir un transporte paralelo y una conexión que permita transportar un vector de un punto a otro. Es muy fácil en el caso del espacio afín de la física clásica. Más complicado en una variedad: es necesario introducir una derivada covariante.

Entonces, incluso la suma de dos fuerzas en diferentes puntos no es una simple consecuencia de la estructura del espacio vectorial. Tenemos que transportar los vectores. Y esto es solo simple para un espacio plano afín.

Esta es una pregunta perspicaz.

Así como no todas las cosas con patas son mesas, no todas las cosas representadas por vectores (en un sentido matemático) son iguales.

En mecánica clásica, hay dos clases de cantidades vectoriales, cada una con algunas propiedades comunes. La nomenclatura a continuación no está estandarizada, ya que diferentes autores han usado diferentes nombres para los mismos conceptos a continuación.

• Vector de eje : un vector único que transmite la dirección y la magnitud de una cantidad que pertenece al cuerpo que representa una línea (o eje) en el espacio.

  Algunos ejemplos en un cuerpo rígido son

  • El vector de cantidad de movimiento es un vector único que describe el estado de cantidad de movimiento traslacional de un cuerpo rígido. Independientemente de cómo gire un cuerpo, siempre se define como

    $$\boldsymbol{p} = m\, \boldsymbol{v}_{\rm C}$$ donde C es el centro de masa. La línea asociada con el impulso se llama eje de percusión .

  • El vector de fuerza es un vector único que describe la carga bajo la que se encuentra un cuerpo. La fuerza es la derivada del momento del momento y la carga total es, por lo tanto,

    $$\boldsymbol{F} = m \, \boldsymbol{a}_C$$ La línea asociada con la fuerza se llama línea de acción .

  • El vector de velocidad de rotación es una cantidad común compartida por todas las partículas de un cuerpo. Se dice que cualquier punto en el cuerpo (o el marco general extendido) gira por$\boldsymbol{\omega}$con respecto a cada punto. La línea asociada con la rotación se llama eje de rotación .

• Vector de momento : un vector que varía según la ubicación y se define tomando el momento de un vector de eje. Esto requiere la convención de la regla de la mano derecha en forma de producto cruzado para definir la dirección del vector. Esto define un campo vectorial alrededor de las líneas mencionadas anteriormente. Un campo vectorial es un vector que cambia de dirección y magnitud según la ubicación.

  Algunos ejemplos están en algún punto arbitrario A son:

  • El vector velocidad depende de la ubicación de la partícula medida, con la fórmula general $$\boldsymbol{v}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{\omega}$$ dónde$\boldsymbol{r}_A$es la ubicación del eje de rotación en relación con la partícula.
  • El vector de torque depende de la ubicación de la partícula donde el torque se suma con la fórmula general $$\boldsymbol{\tau}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{F}$$ dónde$\boldsymbol{r}_A$es la ubicación de la línea de acción de la fuerza en relación con el punto de suma.
  • El vector de momento angular depende de la ubicación donde se suma con la fórmula general $$\boldsymbol{L}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{p}$$ dónde$\boldsymbol{r}_A$es la ubicación del eje de percusión en relación con el punto de suma.

Ahora, para la parte del álgebra vectorial de la pregunta. ¿Cómo sumamos dos fuerzas o dos velocidades y cómo difiere este proceso?

• Dos Fuerzas se suman al estado de carga del cuerpo, al deslizar los vectores a lo largo de su línea de acción hasta encontrarse en un punto común. En el punto común use la regla trapezoidal para encontrar la dirección, magnitud y ubicación de la fuerza resultante.

El resultado es la suma vectorial de los vectores de eje (Fuerzas) y los vectores de momento (Torques) componente por componente.

• Dos velocidades no se suman para cambiar el estado del cuerpo (a menos que el cuerpo esté puramente trasladándose, un caso especial). Las dos velocidades son solo expresiones de la misma velocidad de rotación en diferentes puntos.

Para describir la cinemática de un cuerpo en relación con otro cuerpo, debe sumar los vectores de eje (velocidad de rotación) y los vectores de momento (velocidad de traslación) expresados ​​en un punto común, al igual que las fuerzas anteriores deben agregarse en un punto común. punto.

La geometría de esta situación conduce al teorema del centro relativo de rotación .

Vale la pena leer el siguiente artículo de 1901

• SLATE, F. El Uso de “;Ejes-vectores”. Naturaleza 64, 54–55 (1901). DOI , descargar pdf

Además, lea esta respuesta aquí sobre la naturaleza del par y los vectores de momento que se definen mediante el producto vectorial.

En resumen, las cantidades comunes en mecánica se interpretan de la siguiente manera

$$\begin{array}{r|l|l} \text{concept} & \text{value} & \text{moment}\\ \hline \text{rotation axis} & \text{rot. velocity}, \boldsymbol{\omega} & \text{velocity}, \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \text{line of action} & \text{force}, \boldsymbol{F} & \text{torque}, \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ \text{axis of percussion} & \text{momentum}, \boldsymbol{p} & \text{ang. momentum}, \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \end{array}$$ Las cosas debajo de la columna de valor son cantidades fundamentales que nos dan la magnitud de algo (así como la dirección). Las cosas debajo de la columna de momento son cantidades secundarias que dependen de dónde se miden y dan uso a la ubicación relativa de las cantidades fundamentales. De ahí los términos par = momento de fuerza, velocidad = momento de rotación y momento angular = momento de momento. Todo lo que significa es que estas cantidades son$\boldsymbol{r} \times \text{(something fundamental)}$y describen el brazo de momento a este algo.

El hecho de que la velocidad y la fuerza sean vectores es secundario aquí. La verdadera distinción aquí es si las cantidades en cuestión son intensivas o extensivas , es decir, cómo escalan con el tamaño del sistema.

Con valores escalares, podríamos preguntar exactamente lo mismo sobre la temperatura y la masa. Considere dos objetos idénticos con temperatura$T$y masa$m$. Cuando se juntan, su temperatura no aumentará a$T$, pero seguirá estando en$T$, porque la temperatura es una propiedad intensiva . Sin embargo, la masa es una propiedad extensiva , por lo que la masa combinada aumentará a$2m$.

La combinación de dos propiedades extensivas desiguales se reduce a una suma, mientras que con las propiedades intensivas es un promedio ponderado sobre alguna propiedad extensiva de un sistema: en este ejemplo sería la capacidad calorífica total de cada uno de los cuerpos.

En el caso (1), la velocidad constante significa que la aceleración es cero. En ausencia de gravedad, no hay fuerza neta. Sólo se suman las velocidades relativas.