De acuerdo con las leyes de newton, ¿por qué las dos masas diferentes de una máquina de Atwood se mueven en direcciones opuestas?

Considere una máquina Atwood con dos masas diferentes METRO y metro tal que METRO > metro . Al tratar de encontrar la aceleración de ese sistema, todas las soluciones que encontré son así:

Hay 2 fuerzas que actúan sobre la masa. METRO , tensión T → y la fuerza gravitatoria F gramo → . De acuerdo con la segunda ley de Newton tenemos entonces T → + F gramo → = metro a → . Desde T → , F gramo → y a → son todos paralelos a a → dirigida hacia abajo , se sigue que

T − metro gramo = − metro a

Un proceso de pensamiento similar para metro con su aceleración dirigida hacia arriba produce

T − metro gramo = metro a

Ahora se puede resolver para a. Sin embargo, ¿por qué la suposición que hacemos sobre el signo de a → ¿sostener? Hablando empíricamente, esto parece trivial, pero sigo pensando que debería ser posible deducirlo de los axiomas de Newton. Pero parece que soy demasiado inexperto para hacer esto.

yo se que T → es la misma para ambas masas, ambas T → s se dirigen hacia arriba con la misma magnitud. yo tambien se que los dos F gramo → s están dirigidos hacia abajo, pero el de masa METRO es mayor en magnitud que el de masa metro . Pero no veo por qué F gramo , METRO → sería lo suficientemente grande para superar T → y causar masa METRO para moverse hacia abajo. y porque no F gramo , metro → lo suficientemente grande como para superar T → ?

Se supone que no debes asumir una señal para la aceleración. Tu defines un sistema de coordenadas, que determina los signos de tus fuerzas. Luego, usando la segunda ley de Newton, determinas la aceleración. El signo de la aceleración le dice en qué dirección está la aceleración en función de su sistema de coordenadas previamente definido
@AaronStevens Lo siento, pero realmente no veo cómo definir mi sistema de coordenadas determina que ambas fuerzas netas tienen direcciones opuestas.
Tienes razón. Las dos fuerzas netas sobre cada objeto están en direcciones opuestas sin importar el sistema de coordenadas. Estoy hablando de cuando estás discutiendo asumir un signo para la aceleración. No solo asumes un signo para la aceleración. Surge del sistema de coordenadas. Puedo escribir una respuesta más detallada ahora mismo.
@PhysicsUndergraduateStudent, siempre les dije a mis alumnos que "arriba" en un lado de la máquina de Atwood es la dirección positiva. Además, dado que la polea cambia la dirección de la cuerda, "abajo" en el otro lado de la máquina de Atwood también es positivo. Conceptualmente, esto significa que los dos pesos se mueven "en la misma dirección" y se mueven a la misma velocidad porque están conectados por una cuerda.
Puede hacer esto, y es fácil en este caso simple y en los casos en que hay pendientes. En situaciones con más objetos conectados de manera complicada, se hace difícil averiguar la dirección "natural" de los ejes positivos. La solución de Aaron Stevens es más general y requiere menos reflexión.

Respuestas (1)

No asumes un signo de la aceleración. El signo de la aceleración surge del sistema de coordenadas que elija usar y las magnitudes relativas de las fuerzas.

Digamos que hacia arriba es positivo y hacia abajo es negativo. Llamemos a las masas metro 1 y metro 2 para ello, lo que facilitará el seguimiento de cada masa. Un diagrama de esto se muestra a continuación.

diagrama de problema

Tiene razón al suponer que cada masa experimenta la misma magnitud de tensión hacia arriba. ∗ , y el peso de cada masa actúa hacia abajo. Siempre es útil en problemas como estos dibujar diagramas de cuerpo libre de cada objeto. Diagramas como estos pueden ayudarnos a escribir la fuerza neta sobre cada objeto para usar en la ecuación de la segunda ley de Newton.

FBD

Por lo tanto, para cada bloque, la segunda ley de Newton se ve así:

∑ F 1 = T − metro 1 gramo = metro 1 a 1
∑ F 2 = T − metro 2 gramo = metro 2 a 2

Ahora bien, por cómo se vinculan las masas, debe ser que a 1 = − a 2 (ya que si uno sube el otro baja. Esto también se puede "derivar" si se considera que la longitud de la cuerda que conecta las masas debe ser constante). Por simplicidad digamos a 1 = − a 2 = a . Entonces podemos cambiar nuestras ecuaciones para que sean

T − metro 1 gramo = metro 1 a
T − metro 2 gramo = − metro 2 a

Resolviendo para la aceleración encontramos que:

a = ( metro 2 − metro 1 ) gramo metro 1 + metro 2

Ahora, digamos metro 1 > metro 2 . Entonces vemos que a < 0 . Ahora recuerda, a = a 1 es la aceleración del bloque 1 . Por lo tanto, si bloque 1 es más masivo, acelera hacia abajo (en la dirección negativa según nuestro sistema de coordenadas). Puede aplicar un argumento similar si metro 1 < metro 2 . Observe cómo no asumimos nada sobre el signo de la aceleración. El signo salió de aplicar las leyes de Newton al problema con nuestro sistema de coordenadas definido. Esta es la mejor manera de abordar el problema, ya que en sistemas más complicados es posible que no sepa en qué dirección se moverán las cosas al principio.

Parece que también sería útil para usted si también resolviéramos la tensión en la cuerda:

T = 2 metro 1 metro 2 gramo metro 1 + metro 2

Si metro 1 > metro 2 (bloquear 1 baja y bloquea 2 sube), entonces vemos que

T = 2 metro 1 metro 2 gramo metro 1 + metro 2 > 2 metro 1 metro 2 gramo metro 1 + metro 1 = metro 2 gramo

Entonces vemos que, de hecho, la tensión es lo suficientemente grande como para levantar la masa más pequeña. Podemos hacer un argumento similar para mostrar que el peso de la masa 1 es mayor que la tensión.

Por lo tanto, tenemos dos formas diferentes de mostrar que la masa más grande se moverá hacia abajo y la más pequeña se moverá hacia arriba.

∗ Que la magnitud de la tensión sea la misma para cada masa depende de dos suposiciones. Primero, si asumimos que la polea no tiene masa ni fricción, entonces no se necesita un par neto para girar la polea. Contraste esto con el caso de una polea con masa donde cada tensión debe ser diferente para hacer girar la polea. En segundo lugar, si asumimos que la cuerda no tiene masa, entonces la cuerda no necesita soportar su propio peso. Esto significa que la tensión no dependerá de la altura de cada masa.

¿Podría quizás explicar un poco más el siguiente paso? "Ahora, debido a cómo las masas están unidas, debe ser que a 1 = − a 2 ". Eso es esencialmente lo que he estado tratando de preguntar. ¿Por qué es a 1 = − a 2 ? Aunque esto parece trivial y obvio, sigo sintiendo que vale la pena demostrarlo a partir de los axiomas de Newton.
@PhysicsUndergraduateStudent Esto no es de las leyes de Newton. Esto se debe simplemente al hecho de que las dos masas están vinculadas de tal manera que esto es cierto. Es una parte de nuestro sistema. Si una masa sube, la otra baja. Si una masa está acelerando hacia arriba, la otra debe estar acelerando hacia abajo. Si desea profundizar un poco más, podría argumentar que esto surge del hecho de que las longitudes totales desde cada masa hasta la polea deben permanecer constantes (es decir, la longitud de la cuerda es constante).
@PhysicsUndergraduateStudent Entonces y 1 + y 2 = L es constante, donde y significa distancia a la polea. Entonces debe ser eso y ¨ 1 + y ¨ 2 = 0 . Sin embargo, esto no es de las leyes de Netwon.
¡Sí! Probablemente estaba pensando en esto. Pero ese argumento de "longitud constante" es lo que estaba buscando.
@PhysicsUndergraduateStudent ¡Bien! Agregaré esto a la respuesta para otros que miren esta pregunta.
Esta es una buena respuesta. ¿Considerarías mejorarlo con un diagrama?
@DrSheldon Encontraré una imagen/imágenes suficientes por la mañana. Gracias por los comentarios.
@DrSheldon He agregado diagramas. Avíseme si hay algo más que pueda hacer para mejorar esto.
@FísicaEstudiante de pregrado a 1 = − a 2 es una restricción debido a la geometría. Cuando se aplica la Ley de Newton por separado a objetos separados, se necesita especificar cómo se restringen los objetos. Una alternativa que puede encontrar más satisfactoria es hacer de la cuerda un tercer objeto, modelarlo como un resorte y dejar que la constante del resorte llegue al infinito al final. Creo que eso debería funcionar. Descargo de responsabilidad: ¡No he intentado hacerlo de esa manera!
De acuerdo con las leyes de newton, ¿por qué las dos masas diferentes de una máquina de Atwood se mueven en direcciones opuestas?
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