¿Cómo verificar la no negatividad de una matriz de densidad?

Una matriz de densidad, ρ debe ser hermitiano, normalizado ( T r [ ρ ] = 1 ) y no negativa. No negatividad significa que debe tener valores propios no negativos. Dada una matriz de densidad, las dos primeras condiciones son sencillas de comprobar. Pero, ¿cómo verificar la no negatividad de una matriz de densidad sin calcular explícitamente los valores propios? El cálculo del valor propio puede ser muy difícil para una matriz de densidad dimensional arbitraria.

Dudo que haya otra forma que calcular todos los valores propios.

Respuestas (2)

En una computadora (y probablemente también en papel para una matriz sin estructura particular), la solución más rápida es calcular una factorización de Cholesky y ver si el procedimiento falla. Al final, este es un caso especial del criterio en la respuesta de QMechanic, ya que está construyendo una factorización. ρ = B B † . (Puede reemplazarlo con una factorización LDL^T para evitar las raíces cuadradas).

En algunos casos, si la matriz tiene una estructura especial, puede ser más fácil calcular los determinantes y verificar el criterio de Sylvester, como lo sugiere AccidentalFourierTransform.

Un operador no negativo (también conocido como semipositivo ) 1 ρ : H → H satisface por definición

(1) ∀ v ∈ H : ⟨ v , ρ v ⟩   ≥   0.

Para un espacio de Hilbert complejo, un operador ρ es semipositivo iff

(2) ∃ B :     ρ   =   B † B ,
y si
(3) ρ  es diagonalizable en una base ortonormal con valores propios no negativos.

Las caracterizaciones (1) y (2) suelen ser más fáciles de usar que determinar el espectro/valores propios (3).

1 Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.

¿Podría dar un ejemplo explícito que ilustre este procedimiento?
@Qmechanic Su nota al pie no es necesaria, lo que escribió es correcto con la única hipótesis (que asumió) de que el dominio de ρ es todo el espacio de Hilbert.
@Valter Moretti: Estoy de acuerdo.
Tenga en cuenta también: si H es de dimensión finita, entonces el criterio más fácil de implementar para la definición positiva es el criterio de Sylvester .
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