Intuición sobre medidas con valor de operador positivo (POVM)

Permítanme ampliar un poco la parte de la intuición y escribir un ejemplo. Todo esto ya está esencialmente cubierto por la respuesta de yuggib.

Su confusión acerca de las medidas de valor positivo del operador, como también se señaló, es que no deben confundirse con los resultados de la medición. El problema con los resultados de las mediciones es que son bastante arbitrarios. A menudo, se basan en una escala (por ejemplo, la posición se basa en un marco de referencia), por lo tanto, puede fijar esa escala de manera diferente y cambiar los resultados de la medición. Son, en cierto modo, algo a determinar dentro de un experimento.

Por lo tanto, como teórico, no está realmente interesado en los resultados de la medición la mayor parte del tiempo, sino en saber cuándo obtiene diferentes resultados y, lo que es más importante, en conocer sus probabilidades. Y aquí es donde entran los POVM.

Supongamos que estamos en un espacio de Hilbert. Una medida con valor de operador positivo es un mapa que toma algún conjunto de Borel (principalmente los valores reales como resultados del experimento) y lo asigna a operadores positivos. Deben ser (semi)definidos positivos, porque dado un estado, hay una medida (es decir, un mapa del conjunto de Borel a$[0,1]$) asociado al operador a través del producto escalar.

Por ejemplo, tomemos su experimento de espín: queremos medir el espín de un electrón. Los resultados son$-1/2,1/2$. Podemos definir una medida con valor de operador positivo de la siguiente manera:

Dejar$\mathcal{H}$sea ​​nuestro espacio de Hilbert con nuestro estado siendo$\rho\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$(la matriz de densidad correspondiente en los operadores acotados - aquí, podríamos simplemente tomar$\mathbb{C}^2$para el giro, pero tal vez queramos tener toda la matriz de densidad con mucha otra información en ella). Dejar$\mathcal{B}$sea ​​el álgebra sigma de Borel del conjunto$\{-1/2,1/2\}$, es decir, el conjunto de subconjuntos de este conjunto. Entonces la medida valorada por el operador positivo es un mapa

$$\mathcal{P}:\mathcal{B}\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$$

y se define a través de:

$$\mathcal{P}(\{-1/2\})=P,\quad \mathcal{P}(\{1/2\})=1-P\quad \mathcal{P}(\emptyset)=0 \quad \mathcal{P}(\{-1/2,1/2\})=1$$

dónde$P$es algún operador positivo asociado a la medida de giro (tal vez el Pauli$Z$cuando consideramos$\mathbb{C}^2$) La medida asociada a esto para el estado dado$\rho$es

$$\mu_{\rho}(U):=\operatorname{tr}(\mathcal{P}(U)\rho) \qquad \forall U\in \mathcal{B}$$

Se supone que esto es una medida de probabilidad. Si, por ejemplo, toma el subconjunto$\{-1/2\}$entonces$\mu_{\rho}(\{-1/2\})$te da la probabilidad de que si mides$\rho$, obtendrás el resultado$-1/2$. Esto explica nuestras definiciones anteriores: el conjunto vacío debe asignarse a cero, todo el espacio debe asignarse a 1 y todo debe ser no negativo y estar entre cero y uno. ¡Por lo tanto, los operadores deben ser positivos y sumar uno!

Para ampliar el comentario, se introducen medidas espectrales o medidas con valores de proyección para caracterizar los operadores autoadjuntos.

Son familias de proyecciones ortogonales sobre el espacio de Hilbert que, al actuar adecuadamente sobre vectores, definen una medida. Si se denota por$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\mathbb{R}}$esta familia, un operador adjunto propio$A$correspondiente se puede escribir como

$$A=\int_{\mathbb{R}} \lambda dP_\lambda$$

Las proyecciones son operadores positivos, ya que una medida suele ser positiva cuando se miden (Borel) subconjuntos de reales (volumen positivo). Sin embargo, si integramos una función, puede obtener valores negativos. tan integrando$\lambda$wrt la medida espectral, puede obtener valores negativos (de acuerdo con la medición de observables de valor negativo).

Para una medida general valorada por operadores con la misma interpretación, también necesita la positividad de los operadores que generan la medida. De ahí la denominación de medidas valoradas por el operador "positivo".

(advertencia: así es como lo entiendo, pero no soy un experto en el argumento, por lo que puedo estar equivocado).

El procedimiento de medición descrito por la medición es el siguiente: tiene un estado cuántico y realiza algunas mediciones en él. Hacer una medición significa que obtienes uno de un conjunto de resultados. Por ejemplo, si mide el componente del espín de un electrón en una dirección determinada, tiene dos resultados posibles: girar hacia arriba o girar hacia abajo. El estado del electrón determina cuál de los resultados ocurre con qué probabilidad.

Tenga en cuenta que en la descripción anterior, no asigné ningún valor a esos eventos. Por supuesto, sabemos que "girar hacia arriba" corresponde a un componente de giro de$\hbar/2$, y "girar hacia abajo" a un componente de giro de$-\hbar/2$, pero para la descripción de la medida en sí eso es irrelevante; todo lo que cuenta es que el detector 1 hace clic si tenemos una partícula que gira hacia arriba, y el detector 2 hace clic si tenemos una partícula que gira hacia abajo.

Además, al considerar las POVM, no nos interesa cuál es el estado después de la medición (de hecho, si medimos fotones, el estado después de una medición suele ser "el fotón ya no existe"). Todo lo que nos interesa es qué evento ocurre con qué probabilidad.

También tenga en cuenta que el procedimiento de medición podría ser más complicado. Por ejemplo, una medida podría ser "dejar que el objeto en cuestión interactúe con otro objeto de cierta manera y luego medir ese otro objeto". En ese caso, un resultado de medición en general no puede asociarse con un estado puro específico del objeto medido. Por ejemplo, puede tener fácilmente un POVM con tres resultados para el giro de una partícula de giro 1/2. Ninguno de los tres resultados se puede asociar con un valor de giro único específico.

De hecho, esas consideraciones por sí solas son suficientes para derivar las propiedades de una POVM:

Primero, el POVM se describe mediante un conjunto de funciones$f_k$mapeo del estado de entrada$\rho$a la probabilidad$p_k=f_k(\rho)$para obtener el resultado de la medición$k$al medir este estado de entrada.

Primero, considere el caso de que se le proporcione el estado$\rho_A$con probabilidad$p_A$y el estado$\rho_B$con probabilidad$p_B$. Entonces el estado total que se le proporciona es

$$\rho = p_A\rho_A + p_B\rho_B. \tag{1}$$

Ahora, de acuerdo con las reglas de probabilidad, si , entonces la probabilidad de obtener resultados de medición$k$es

$$f_k(\rho) = p_A\cdot f_k(\rho_A) + p_B\cdot f_k(\rho_B)\tag{2}$$

Ahora insertando (1) en (2), obtienes la linealidad de las funciones$f_k$. Pero cada función lineal desde un operador acotado hasta un número se puede escribir como traza

$$f_k(\rho) = \operatorname{tr}(E_k\rho)$$ para algún operador $E_k$.

las propiedades de$E_k$puede derivarse fácilmente de las propiedades de las probabilidades:

Dado que las probabilidades son reales y las matrices de densidad son hermitianas, se sigue que la$E_k$también hay que ser hermitiano.

Como las probabilidades son siempre no negativas, tenemos para cualquier$\rho$

$$0 \le p_k = \operatorname{tr}(E_k\rho)$$ por lo tanto cada uno $E_k$tiene que ser positivo.

Además, dado que siempre obtenemos uno de los resultados de la medición, para cualquier estado$\rho$las probabilidades de los diferentes resultados deben sumar$1$, eso es

$$1 = \sum_k f_k(\rho) = \sum_k \operatorname{tr}(E_k\rho) = \operatorname{tr}\left(\left(\sum_kE_k\right)\rho\right)$$

lo que implica que

$$\sum_kE_k = I$$ dónde $I$es el operador de identidad.