Suma de diferentes cantidades físicas

Supongo que también podría recopilar mis comentarios en una respuesta.

En realidad, implícitamente estás haciendo dos preguntas:

1. si tiene sentido matemático sumar diferentes cantidades; y
2. si tiene sentido por qué uno no lo encuentra más a menudo en la física.

La respuesta a 1. es positiva en ciertos casos, especialmente cuando se habla de frutas. La estructura se llama grupo abeliano libre . Es esencialmente una copia de enteros para cada fruta con adición definida por componentes:$(5a + 2o) + (2a + 3o) = (7a + 5o)$etcétera. De manera similar, se pueden formalizar otros conceptos de suma de diferentes cantidades. También se puede introducir la multiplicación y hablar de anillos polimoniales.$K[x,y,\dots,z]$(donde se entiende que las variables representan unidades) o tomar el campo de fracciones de eso, o incluso introducir la no conmutatividad. Hay muchas estructuras matemáticas que pueden acomodar todas las operaciones necesarias en física (y más).

Entonces llegamos al punto 2. Hemos visto que es posible sumar diferentes cantidades. Pero eso no dice nada acerca de si tal operación es alguna vez útil. En particular, cuando se habla de operaciones elementales utilizadas en problemas físicos para llegar a un resultado que es siempre una cantidad bien definida con unidades. Afirmo que es por eso que no usamos en física nada más que la suma de cantidades con las mismas unidades porque queremos tener unidades razonables en cada paso del cálculo.

Tenga en cuenta que esto también es consistente con tomar productos de diferentes cantidades porque esta operación no arruina el hecho de que en cada paso de la derivación tenemos unidades bien definidas de la expresión.

Creo que descubrí cómo se puede expresar esto matemáticamente. Las unidades pueden pensarse como constantes matemáticas y las cantidades físicas como números multiplicados por esas constantes (unidades). Entonces, cuando sumamos dos cantidades iguales con las mismas unidades, podemos sumar los números, por ejemplo:

$\rm 2\hspace{0.2cm} apples + 5\hspace{0.2cm} apples = 2\cdot a +5\cdot a = (2+5)\cdot a=7\cdot a = 7\hspace{0.2cm} apples$

Pero para diferentes cantidades no podemos sumar los números:

$\rm 2\hspace{0.2cm} apples + 5\hspace{0.2cm} oranges = 2\cdot a +5\cdot o$

Por lo tanto, no podemos escribir:

$\rm 2\hspace{0.2cm} apples + 5\hspace{0.2cm} oranges = 7\hspace{0.2cm} apples + oranges$

Sin embargo podemos multiplicarlos (y dividirlos), multiplicando los números y las unidades:

$\rm 2\hspace{0.2cm} apples \cdot 5\hspace{0.2cm} oranges = (2\cdot a) \cdot (5\cdot o) = (2\ \cdot 5) \cdot (a\cdot o) =10 \cdot (a\cdot o)=10\hspace{0.2cm} apples \cdot oranges$

Esto parece funcionar.

Es solo porque el proceso de multiplicar unidades está bien definido; esa es la forma con la que se definen nuevas unidades. Por ejemplo, toma un cuadrado de lado$a=1\text{ m}$. Para encontrar el área$A$del cuadrado cuadras el lado,

Sólo se permite sumar o restar cantidades con unidades si las cantidades tienen las mismas unidades, simplemente porque en el proceso de sumar o restar las unidades son espectadores, es decir, factorizan. Por ejemplo, tome un segmento de línea de longitud$\ell_1=1\text{ m}$y un segmento de recta de longitud$\ell_2=2\text{ m}$. La longitud total de los dos segmentos de línea es

De hecho, podemos agregar manzanas y naranjas, pero luego tratamos con vectores en lugar de escalares ;-)

Quiero decir$2a + 5o$es un vector en un espacio bidimensional con los vectores unitarios independientes$a$y$o$. Es solo (2,5), no hay problema.

Una forma diferente de expresar las ideas sobre las unidades es que cuando una ecuación se establece en un conjunto de unidades, nos gustaría poder convertir esa declaración en unidades diferentes. Por ejemplo, 3 mx 7 m = 21 m ² se puede convertir en 300 cm x 700 cm = 210000 cm ² .

Del mismo modo, 3 km + 700 m = 3700 m se pueden convertir en 300000 cm + 70000 cm = 370000 cm.

Pero no existe una manera sensata de tomar 3 galones + 2 horas = 5 y tantos y convertirlo en, digamos, una declaración en términos de minutos en lugar de horas.

Una forma pomposa de expresar todo esto es que estamos tratando con geometría afín. Cuando multiplicamos 3 newtons por 7 metros para obtener 21 newton-metros, encontramos el área de un rectángulo en el plano afín. En geometría afín, las distancias medidas a lo largo de líneas no paralelas no se pueden comparar, por lo que no podemos decir que 7 metros es mayor que 3 newtons.

La multiplicación es posible, porque también multiplicas unidades de medida . En otras palabras, si multiplicas 2 manzanas por 3 naranjas, lo que obtienes no son solo 6, sino 6 naranjas-manzanas . Del mismo modo, si divides 6 manzanas entre 2 naranjas, obtienes 3 manzanas/naranjas. Esto realmente tiene sentido ya que por cada naranja hay 3 manzanas . Pero al sumar o restar números, en realidad no puedes sumar o restar unidades de medida .

No se usa en Física AFAIK, al menos no de manera formal, pero uno podría escribir

Cualquier Matemática podría ser útil en el futuro en Física. Hay muchas Matemáticas que no se usan actualmente en Física, pero descartar algo parece una temeridad.

Contamos, adimensional. Medimos, adimensional. Cualquier medida es una relación de dos cantidades: la cantidad que queremos medir se divide por la cantidad de un estándar elegido. Al patrón le asignamos un nombre como metro y regulamos una manera precisa de definirlo. Cuando medimos masa hacemos un conteo de bariones como se encuentra aquí:
sección II. SOBRE UNIDADES, LEYES FÍSICAS Y ESCALA, inciso A. Sobre cantidades y unidades y medidas atómicas son cuentas de números

Cuando sumamos medidas, sumamos números puros. ¿Y el papel de las unidades? Es un recordatorio de qué estándar se eligió para representarlos y el grado de la dimensión (Longitud-L, Tiempo-T, Carga-Q, Masa-M, Temperatura). Las medidas de temperatura y ángulo son números puros por definición, no una relación. Como ejemplo$m^3$tiene la dimensión$L^3$, un volumen. No tiene sentido la suma de un volumen con un área o una temperatura con un ángulo. Podemos sumar cantidades del mismo tipo (dimensión y grado); una clase de fruta u 'objeto' o 'contenido de la bolsa' permiten contar manzanas y naranjas en la misma bolsa. Podemos sumar X metros a Y decímetros, el resultado sigue siendo una cantidad de longitud. Sumando cantidades de diferente clase, digamos A y B, da un resultado que pertenece a una tercera clase (ni A ni B).
Citando del documento anterior:

"Comencemos por las cantidades longitud y tiempo; la longitud es un concepto geométrico, estático; el tiempo es un concepto ligado al flujo de los acontecimientos, al contrario de lo estático; son, claramente, conceptos distintos".

¿Podemos agregar una cantidad de longitud a una cantidad de tiempo? No.
"Las unidades base no son independientes", es decir, las unidades de longitud, tiempo, masa y carga son interdependientes; la velocidad de la luz y las propiedades del átomo los interconectan:

Las unidades de tiempo y longitud están vinculadas a través de la velocidad de la luz. Por lo tanto, mientras que los conceptos de longitud y tiempo son independientes, sus unidades no lo son. Esto tiene consecuencias en la descripción del universo; por ejemplo, el espacio-tiempo relativista es una propiedad de la descripción del universo usando tales unidades y un marco de referencia calibrado por el método descrito por Einstein

La multiplicación es una suma (repetida N veces), por ejemplo, 5m x 3 = 15m y 5m x 3m = 15$m^2$(dimensión$L^2$). La división de cantidades de la misma naturaleza es una medida.

(El autor del artículo reciente anterior es un amigo mío y los comentarios son bienvenidos y, si son pertinentes, los reenviaré. Perdón por el mal inglés).

Las cantidades con diferentes unidades no se suman porque no hay ecuaciones físicamente interesantes como$a + b = c$que nos permiten predecir un valor numérico para uno, dados los demás. Por otro lado, hay muchas en las que tienes que multiplicar valores, como$F = m\frac{dv}{dt},~ C = q/v$. También hay división y formación de exponentes de cantidades.

Sumar manzanas y naranjas es significativo ya que da el número total de objetos. Por otro lado, multiplicarlos juntos generalmente no tiene sentido porque no hay una cantidad significativa para la cual esta operación calcula un valor.

He aquí una contrapregunta retórica:

P : ¿Cuándo son 2 pies x 3 pies y no 6 pies cuadrados (es decir, 6 pies$^2$)?
R : Cuando las dos medidas no se tomaron en ángulo recto entre sí y desde el mismo punto de origen.

En otras palabras, no, no puedes multiplicar manzanas y naranjas. Las unidades no están relacionadas entre sí de forma definida. Puede definir su propio resultado dimensional, pero luego tiene algo sin sentido que ha definido matemáticamente. Es decir, puede definir una palabra para que signifique "manzanas x naranjas", pero eso no significa que tenga ningún significado.