¿Cuál es el logaritmo de un kilómetro? ¿Es un número adimensional?

Sí, los logaritmos siempre dan números adimensionales, pero no, no es físico sacar el logaritmo de nada con unidades.

En cambio, siempre hay alguna unidad estándar. Para su ejemplo, el estándar es el kilómetro. Entonces 20 km, bajo la transformación logarítmica, se convierte en$\ln(20\;\textrm{km}\;/\;\textrm{km}\;)$. Del mismo modo, el registro de 10 cm, con esta escala es

Aquí hay una respuesta "matemática" pero muy poco física .

usando eso$km\cdot km = (km)^2$etc, podemos definir formalmente la aritmética de números con unidades sobre un álgebra graduada $A = \oplus_{k\in \mathbb{N}} V_k$dónde$V_k = \otimes^k V$dónde$V$se trata como un espacio vectorial real unidimensional ($V_0$es el escalar$\mathbb{R}$). La elección de la unidad es la elección de un vector base en$V$.$V_0$son los escalares puros. Entonces, para cada elección de un vector base$v \in V$, obtenemos el mapeo de la secuencia infinita$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to A$realizando esa secuencia a través de$(r_k) \to [r_k]_v = \sum r_k (\otimes^k v)$. Definimos la multiplicación$V_k\times V_{k'} \to V_{k+k'}$como siempre.

(No definiremos las unidades de potencia negativa por ahora. Pero probablemente se puedan incorporar de manera análoga).

Entonces formalmente podemos definir$\exp: A \to A$por la expansión en serie de potencias

dónde$a^k$se define en el sentido del álgebra graduada. Y ahí hemos definido lo que significa para$\exp$de algo con unidades. Cambio de base de$\exp$es manejado por$y^a = \exp (\ln(y)\cdot a)$. Y de manera similar, el cambio de unidades se incorpora naturalmente, utilizando el hecho de que un cambio de base en un espacio vectorial real unidimensional es solo una multiplicación por escalares. En otras palabras, tenemos$[r_k]_v = [r'_k]_{v'}$dónde$r_k = s^kr'_k$cuando$v = s v'$.

Usando esto, podemos invertir formalmente la expansión de la serie de potencias para encontrar qué$\ln$"debiera ser. arreglar una unidad$v$. Tomar$(r_k) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$y considerar$[r_k]_v \in A$. Encontrar$\ln [r_k]_v$Necesitamos encontrar$(s_k)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$tal que

(También podemos usar la expansión de Taylor de$\ln$alrededor$1\in\mathbb{R}$para obtener la expresión de$(s_k)$en términos de$(r_k)$.)

Desafortunadamente, incluso en este marco de trabajo$\ln 1 km$todavía no está bien definido: a imagen de$\exp$,$r_0$es necesariamente positivo. Formalmente, es posible definir$\ln (1 km) = \ln (1 + (1 km - 1))$como la serie de potencias bastante divergente

Ahora un poco de diversión con series divergentes: tenga en cuenta que$\sum 1 = \sum (-1)^k(-1)^k = \sum (-1)^kx^k |_{-1}$es la expansión en serie de Taylor de$1/x$alrededor$x_0 = 1$evaluado en$-1$, por lo que el segundo término es nominalmente$\lim_{x\to 0+} 1/x$. Entonces, incluso si regularizamos:

sigue siendo muy divergente.

(Observe que, sin embargo,$\ln (1 + 1km) = \sum (-1)^{j+1}/j (km)^j$está bien definida como una serie formal de potencias).

Entonces, ¿cuál era el punto de esta publicación? Esta publicación se dirige principalmente a la conclusión de que$\log m$es un "número adimensional" como se indica en el enunciado de la pregunta. Si bien en la aritmética habitual se nos enseña que no podemos sumar manzanas a naranjas, eso es solo si tomamos el punto de vista de tratar de sumar un objeto en el$\mathbb{Z}$-módulo de manzanas a un objeto separado en el$\mathbb{Z}$-módulo de naranjas. Si estas dispuesto a trabajar en el modulo de suma directa de manzanas$\oplus$naranjas, de hecho puede agregar manzanas a las naranjas.

Ahora bien, implícitamente al afirmar que$\log$tiene sentido para objetos con unidades, (y de manera similar que$\exp$tiene sentido para objetos de unidades), es necesario que ya trabajemos en un sistema, el de los graduados$\mathbb{R}$-álgebra, en la que puedes agregar un escalar (un objeto sin unidades) a un vector (algún objeto con unidades). Así que al afirmar que quieres dar sentido a$\log km$, no se puede concluir de ello que$3$y$\log m$debe tener las mismas unidades.

Esta es una pregunta divertida. Me cuesta entender bien la transformación que es$ln$así que escribiré las cosas en términos de exponentes.

El número$e$es, por supuesto, sin unidades. Si elevo un número a una potencia, ¿cuáles son las unidades permisibles de la potencia? si escribo$x^2$, tengo una suposición intuitiva de que$2$no tiene unidades, porque es solo un conteo usado para expresar$x \times x = x^2$.

Por lo tanto, me he convencido de la respuesta de Carl y necesitaría un logaritmo para tener una referencia que tenga sentido. Por ejemplo:

La alternativa anterior de$e$elevado a una potencia que iguala una cantidad física con unidades reales parece el ejemplo perfecto de algo que no tiene sentido.

parcelas de registro

Tengo otra pregunta que surgió de su pregunta e intentaré responderla aquí. Recuerdo específicamente tomar la derivada de las gráficas log-log y linear-log en las clases de ingeniería. Teníamos alguna justificación para eso, pero parecería no tener sentido en la superficie, así que profundicemos. Aquí hay un ejemplo de un gráfico logarítmico. Mostraré el gráfico y luego ofreceré una ecuación de la línea que se está representando.

^{Fuente de la imagen: Wikipedia}

Empezaré a escribir cosas desde lo básico.$y=mx+b$luego cambie las cosas según sea necesario. Como estoy usando una constante arbitraria, la modificaré cuando sea necesario.

Como magia, aparece una forma reconocible. Observar una relación lineal en un gráfico logarítmico realmente significa que está observando un ajuste de potencia, no un ajuste lineal. Un estudiante aún puede preguntar "pero qué son a y b", lo cual es un poco más difícil. En primer lugar, no manipulé$a$, por lo que puede tomar el significado directamente de la forma final, lo que significa que es un exponente y, por lo tanto, no tiene unidades. para b:

Esto muestra que$b$es también sin unidades, pero también da interpretación a$p_0$, que es el valor y de referencia en algún valor x de referencia ($m_0$). Pasaré a la gráfica lineal logarítmica o a una escala semilogarítmica.

^{Fuente de la imagen: J. Exp. Medicina. 103 , 653 (1956).}

voy a denotar$f$para "fracción sobreviviente" y$d$por dosis. La ecuación para una regresión que parece lineal en el gráfico anterior será la siguiente.

Es importante señalar aquí que$b$tenía unidades dudosas todo el tiempo, al igual que en el caso log-log, pero en realidad no importa porque una forma más útil surge de las matemáticas de forma natural. El valor$f_0$sería el valor de referencia (100% en este caso) en$d=0$.

Resumen: asumir una relación lineal en los diagramas logarítmicos realmente supone que la relación real sigue una forma no lineal , y las unidades funcionarán una vez que haga las matemáticas, pero la interpretación de los valores puede no ser trivial.

La mejor manera de pensarlo es que un número como 1 km consiste en un 1 adimensional multiplicado por una unidad, km. Cuando toma el registro de un producto, obtiene la suma de los registros, por lo que log(1 km) es lo mismo que log(1)+log(km). Esto muestra que el logaritmo de 1 km no es una cantidad adimensional ni dimensional. Si fuera adimensional, entonces sería expresable sin referencia a ningún sistema de unidades. Si fuera dimensional, entonces cambiaría por multiplicación cuando se cambiara el sistema de unidades. No es ninguna de estas cosas.

Es algo que no es ni una cantidad física ni un número adimensional, sino algo que puede describirse simplemente como el logaritmo de una cantidad física . No hay mucho problema con esto: deja$\mathcal{P}$Sea el espacio de las cantidades físicas. Podemos abarcar este espacio de una manera similar a un espacio vectorial por unidades físicas básicas (por ejemplo, SI) como lo describe Willie Wong. Lo que es importante: sabemos que no podemos realizar ciertas operaciones en este espacio, por ejemplo, no podemos agregar una masa a una corriente eléctrica. Adición de cantidades$a,b\in\mathcal{P}$solo se define si$a$y$b$tienen la misma dimensión, es decir, si$\exists x\in\mathbb{R}$tal que$a=xb$. La multiplicación siempre está definida y siempre da de nuevo una cantidad física. (Esto también define las potencias de las cantidades físicas, pero no cuál es, digamos, la exponencial de una de ellas).
Entonces sabemos que$\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$, ya que para, digamos, dos longitudes$a,b\in\mathcal{P}$el radio$\tfrac{a}b$será un número adimensional. Para estas cantidades adimensionales, el logaritmo se define desde el principio.

Es bastante simple extender esto a un espacio completo.$\ln\!\!\mathcal{P}\supset\mathbb{R}$: por$a\in\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$, el logaritmo se define como usualmente. Para$a\not\in\mathbb{R}$, definimos el logaritmo axiomáticamente: primero requerimos$\ln\!\!\mathcal{P}$ser un grupo abeliano WRT además, incluso un espacio vectorial sobre$\mathbb{R}$. Entonces para$\lambda\in\mathbb{R}$,

Volviendo a tu pregunta: ¿cuál es el logaritmo de un kilómetro? La respuesta:$\ln(1\:\mathrm{km})=\ln(\mathrm{km})$. Si trata a los kilómetros como la unidad básica de longitud, entonces esto es todo lo que necesita. Si prefieres metros o pulgadas o lo que sea, solo obtienes

Lo más parecido a las "unidades de logaritmo" son los decibeles , que son 10 veces el logaritmo en base 10 de una razón. Para poner cualquier cantidad física en una unidad similar a un decibelio, primero debe dividir por alguna cantidad de referencia. Por ejemplo, la unidad de "decibelios" para la potencia es "dBm", que es la relación de la potencia en cuestión sobre 1 mW, expresada en dB:

Para una visión alternativa sobre la potencial "adimensionalidad" de la función logarítmica, relacionada con su relación con las integrales y derivadas de las funciones de potencia, y su cercanía a la$0$función -th-power. Si se calcula una primitiva de$t^p$:

Cada vez, uno gana otra dimensión (o un poder para la unidad respectiva). Al diferenciar, pierdes dimensiones hasta cierto punto.$0$para potencias positivas. Para potencias negativas, esto se reduce a$-\infty$: por$p \neq 0$,

Definitivamente algo está pasando alrededor de la potencia cero.

Es costumbre establecer una potencia cero de un escalar no nulo$\alpha$a$1$($\alpha^0=1$). Si ahora arregla un no nulo$t$, el coeficiente de variación para un real$p$-poder cerca$0$va como:

En cierto modo, una constante es un comportamiento límite del logaritmo, o al revés. Por lo tanto, el logaritmo debería ser de alguna manera sin unidades.

Existen conceptos similares en el análisis estadístico de datos experimentales. Cuando tratas de encontrar una relación entre variables$y$y$t$, y no puede encontrar una lineal, algunos intentan modificar al menos una variable con una función de potencia. J. Tukey ("inventor" del diagrama de caja y la FFT) propuso la escalera de transformación, o escalera de poderes, al observar$y = a+ bt^{p}$. Una solución más satisfactoria reside en la transformada de Box-Cox: si$\hat{t}$denota la media geométrica de$t$, y$\alpha$algún cambio, entonces:

En una palabra, el$0$-ésima potencia de una constante es$1$, la$0$-ésima potencia de una variable es su$\log$. De alguna manera.

Referencias:

• JW Tukey, Análisis de datos exploratorios. Addison-Wesley, 1977.
• GEP Box y DR Cox, Un análisis de las transformaciones , Revista de la Royal Statistical Society. Serie B, 1964.
• Relacionado en Stackexchange: ¿ sucesor moderno del análisis de datos exploratorios de Tukey?

La función logarítmica se usa fácilmente para la transformación de una escala a otra. De hecho, una escala/unidad es una medida y, por lo tanto, no tiene dimensiones, pero para interpretarla en sentido físico nos apropiamos de una unidad relativa a un estándar absoluto para que el valor tenga sentido y sea reproducible. Respondiendo así a tu pregunta. Log (x) no tiene unidades, ya que todas las operaciones matemáticas realizadas son intrínsecamente sin unidades. Para una mejor comprensión me gustaría dar un ejemplo imaginario: "Cuando salgo a correr con mi amigo, la distancia entre nosotros es proporcional a la velocidad que corre mi amigo at" En este ejemplo, las unidades a cada lado de la igualdad son completamente arbitrarias dependiendo de la formulación de la situación, bien podría ser adimensional, m/s o digamos tiempo, luego celsius, ¡m/s!

Espero que esto ayude.

De alguna manera, las unidades en física siguen confundiendo a la gente. Una forma simple de salir de esta confusión es darse cuenta de que traducir la física a las matemáticas requiere convertir el problema en uno que trate solo con números puros (los llamados adimensionales).

Esto puede ser sencillo. Considere un péndulo simple. Derivación del período de tiempo para balancear el bob$t_{swing}$requiere que expresemos el problema en forma matemática. Esto nos obliga a trabajar no con el período de tiempo en sí mismo, sino con una cantidad adimensional como la relación entre$t_{swing}$y alguna otra vez$t_0$. Como resultado podemos derivar ecuaciones como

Al hacer el análisis para pequeños ángulos de balanceo, se sigue que$f(..) = 2\pi$.

En algunos otros casos, el número de parámetros disponibles en el problema no es suficiente para convertir la ecuación en adimensional. En tales casos, los físicos recurren a parámetros físicos genéricos llamados unidades. Su único propósito es convertir todos los parámetros en las ecuaciones matemáticas en adimensionales (números puros).

Los físicos a menudo violan la regla que prescribe las matemáticas adimensionales. Entonces verás ecuaciones como

Estrictamente hablando, esto es incorrecto. Sin embargo, la gente tiende a interpretar esto como una forma abreviada de

(o con cualquier otra unidad de longitud de elección en el denominador). Esto hace que la ecuación vuelva a ser adimensional. Yo diría que lo que realmente se quiere decir, sin embargo, es

También ecuaciones como

estrictamente hablando tiene poco sentido. Nuevamente, la gente podría convertir esta tontería en algo significativo al interpretarlo como una forma abreviada de

Lo que realmente se quiere decir, sin embargo, es

La conclusión es que no tiene sentido tener una longitud desnuda$x$o una longitud desnuda$r$en las ecuaciones Tampoco tiene sentido tener un desnudo$1m$ahí. Sin embargo, tiene sentido tener un parámetro$\frac{r}{1 m}$o$\frac{x}{r}$. Este es siempre el caso, pero se vuelve más evidente cuando la función en cuestión toma la forma de, por ejemplo, un logaritmo.

Mi dos centavos es que esta es una mezcla clásica de niveles meta.

Un kilómetro es una medida en el suelo de la tierra. Cuando hacemos un mapa, un meta nivel de la medida real, la longitud en el mapa es quizás de 1 cm por cada diez kilómetros, y lo tomamos con calma sin preguntarnos cómo es posible. Es posible porque tenemos muy claro el concepto de que el mapa es un meta nivel.

Supongamos que hacemos el mapa en escala logarítmica (existen divertidos mapas del globo dependiendo de las funciones). Esto significaría que lo que estaría marcado como un kilómetro en este mapa se hará logarítmicamente más grande a medida que los datos reales (no meta) aumenten en kilómetros. La razón por la que uno usa metaniveles para cantidades que tienen unidades es por conveniencia, proyectar el globo terráqueo en un plano es conveniente para lo que queremos hacer, aunque distorsiona el tamaño relativo del kilómetro en el mapa, que nuestra "intuición" quiere constante. .

Cuando tratamos con exponentes y logaritmos en ecuaciones físicas, tenemos mucho cuidado de tener números adimensionales allí. En realidad, es una de las herramientas, las unidades de equilibrio. Estudie la distribución de Boltzmann como ejemplo.

Primero, la pregunta está un poco mal planteada. En una gráfica logarítmica, por ejemplo, las cantidades son (log X) km, no log(X km). Necesitamos definir más la pregunta: ¿Qué significa "tomar un logaritmo"? El logaritmo, o cualquier función similar, se define para tomar un número real o complejo y dar un nuevo número basado en una regla determinada. Darle algo que no sea un número es un poco como preguntar "¿Cuánto pesa el número tres?"; no tiene sentido porque la función que da el peso de un objeto no acepta números.

(Considere las ecuaciones físicas que involucran cantidades físicas como argumentos de logaritmos, funciones trigonométricas o exponentes. La experiencia nos dice que, en ecuaciones que surgen de la naturaleza, las unidades de cantidades dentro de exponentes y funciones siempre se combinan para dar un número adimensional. Cualquier expresión significativa debe provenir del razonamiento físico, por lo que también necesitaría llegar a esta pregunta del razonamiento físico ...)

Como señaló Ben Cromwell en su comentario , estoy seguro de que hay formas de representar las unidades en matemáticas.