¿Por qué los radianes son más naturales que cualquier otra unidad angular?

Más importante

Así que ahora podrías preguntarte por qué$e$es más natural que cualquier otro número ;-)

Considere la serie de Taylor para la función trigonométrica. Por ejemplo seno

Si tuviera que elegir alguna otra unidad para el ángulo, esta serie muy ordenada recogería algunos factores adicionales en cada término.

Ese tipo de cosas es "antinatural" para los matemáticos.

Los ángulos se definen como la relación entre la longitud del arco y el radio multiplicada por alguna constante$k$que es igual a uno en el caso de los radianes,$360/2\pi$para grados. Lo que realmente está preguntando es qué tiene de natural establecer$k$= 1? Nuevamente, es la limpieza como se señala en la respuesta alternativa de dmckee.

La gente llama a las cosas "naturales" cuando simplifican fórmulas.

Ejemplo, si hay una rueda que gira, la velocidad$v$de un punto en la periferia es intuitivamente proporcional a la velocidad de rotación$\omega$y radio$r$. Si la velocidad de rotación se mide en radianes por segundo, entonces la fórmula exacta y la intuitiva son idénticas:

en lugar de algo feo como$r\omega(\pi/180)$.

Creo que parte de lo que busco es una explicación de por qué el radio es la parte más importante de un círculo.

La parte más importante de un círculo es el lugar geométrico de los puntos que lo componen. Sin eso, no tienes un círculo.

El radio es importante en la definición de "círculo", pero la definición de "círculo" no es idéntica a ningún círculo.

El radián se define como " la relación entre la longitud de un arco y su radio ".

$\theta = s/r$

Es más "natural" que otras medidas angulares por esta razón: el ángulo en radianes es la longitud de arco normalizada , es decir, la medida del ángulo en radianes es la longitud de arco por unidad de radio.

EDITAR: para abordar los numerosos comentarios que Zendmailer ha hecho a otras respuestas.

Zendmailer pregunta

Lo que estoy preguntando ahora es, si son realmente naturales, ¿cómo encaja la afirmación de que 1 radian = 1?

Para cualquier medida angular$\alpha$, tenemos el resultado casi trivial:

1$\alpha = 1$

Entonces, el hecho de que 1 radian = 1 no tiene nada que ver con la cuestión de la naturalidad .

Como expliqué en un comentario a otra respuesta, la justificación de la naturalidad del radián como medida angular es geométrica .

Se puede construir un círculo con una cuerda fija en un extremo, el centro del círculo y un lápiz. Sosteniendo la burla de la cuerda, el lápiz traza el lugar geométrico de los puntos que componen el círculo. El radio del círculo es la longitud de la cuerda.

Habiendo hecho eso, ¿cuál es la forma más natural de medir la longitud a lo largo del círculo? Coloque la cuerda a lo largo de la circunferencia. La longitud del arco es precisamente 1 radio. El ángulo subtendido por esa longitud de arco es una medida natural de ángulo, el radián.

El ángulo es la longitud del arco dividida por el radio, por lo que la medida del ángulo en radianes da directamente la longitud del arco como un múltiplo del radio.

Permítame mencionar algunos antecedentes que podrían estar relacionados con sus preguntas y espero que lo ayuden a comprender las respuestas publicadas por otros.

1. Hay una diferencia entre unidades y dimensiones. Toda cantidad que lleva dimensiones debe llevar unidades.
2. Lo contrario a la afirmación anterior no siempre es cierto, por ejemplo los ángulos no tienen ninguna dimensión porque por definición son longitud/longitud, pero tienen unidades. La unidad en este caso se utiliza para identificar la cantidad como un ángulo.
3. Los ángulos se pueden medir en grados y se pueden medir en radianes, de la misma manera que las distancias se pueden medir en centímetros o en pulgadas. En consecuencia, debe haber un factor de conversión entre las 2 unidades.
4. Usando$\pi$radianes = 180 grados, puedes ver que$1 ~rad= 180^\circ/\pi=180^\circ/3.14\simeq 57.3^\circ$. Es decir 1 rad = 57,3 grados (para ponerlo en una forma parecida a algo así como 1 pulgada = 2,54 cm).
5. Por definición$\displaystyle \theta=\frac{s}{r}$Rad, donde$s$es la longitud del arco subtendido del ángulo y$r$es el radio del círculo. Tenga en cuenta que la expresión anterior para el ángulo le da el ángulo en radianes. Si lo quieres en grados entonces se verá así,$\displaystyle \theta = \frac{s}{r}\frac{180^\circ}{\pi}$. Como puede ver, la expresión en radianes es mucho más simple, por lo tanto, natural, como lo señaló Mike Dunlavey.
6. Si tienes una partícula que gira alrededor de un círculo de radio constante$r$, entonces de la ecuación$\displaystyle \theta=\frac{s}{r}$rad puedes ver que podemos conseguir$\displaystyle \omega=\frac{v}{r}$rad por unidad de tiempo (donde, por definición,$\omega = \frac{d\theta}{dt}$y$v=\frac{ds}{dt}$). Nuevamente, como señaló Mike, la ecuación de la velocidad angular tendrá un factor adicional de$180^\circ/\pi$si hubiéramos querido que la velocidad angular se expresara en grados por unidad de tiempo en lugar de rad por unidad de tiempo.
7. Cuando un ángulo, expresado en radianes o grados, multiplica una unidad de distancia, digamos, la unidad sobreviviente es la de la distancia. Por ejemplo: dado$\omega = 2 rad/s$y$r=1 cm$, por eso$r\omega = 2 cm/s$. Por eso en este caso se puede decir 1 rad =1.

La razón por la que se adoptó el radián fue que era fácil relacionarlo con la circunferencia de un círculo como 2*Pi si el radio era una unidad. No existe tal cosa como 360 grados (era un concepto erróneo en los primeros tiempos que un año se compone de 360 ​​días, por lo que lo tomaron 360). A partir de las estadísticas actuales, será 365 1/4 pero no cambia los cálculos y los resultados se ajustan automáticamente en el cálculo.

Los cálculos fueron fáciles de manipular con Pi en lugar de Grados, minutos, segundos y ambos son intercambiables. Así, un consuelo se convirtió en una tradición.