Relaciones de conmutación de espín

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Relaciones de conmutación de espín

Física
mentira-álgebra
giro cuántico
momento angular
mecánica cuántica
representaciones de grupo

Constantino negro

Para el momento angular orbital definido como $L= r \times p$ podemos demostrar, en mecánica cuántica, las relaciones de conmutación. Además, podríamos probar estas relaciones mediante el estudio de rotaciones (infinitesimales) en el espacio. Estos son:

[L_{i}, L_{j}] = i ℏ \sum_{k} ε_{i j k} L_{k} .

$[L_i , L_j]=i \hbar \sum_k ε_{ijk}L_k.$

Dado que no existe una definición análoga para el momento angular de espín como la del momento angular orbital,

¿Cómo podemos probar las relaciones de conmutación?
$[S_{i}, S_{j}] = i ℏ \sum_{k} ε_{i j k} S_{k} .$ $[S_i , S_j]= i \hbar \sum_k ε_{ijk}S_k.$
¿Podemos seguir un camino similar al del momento angular orbital, que es el estudio de las rotaciones en algún espacio y, en caso afirmativo, en qué espacio y qué representaría este espacio?

una mente curiosa

1. ¿Qué quiere decir con "probar" el CR para

S_{i}

$S_i$ ? ¿Cómo defines la

S_{i}

$S_i$ si no como precisamente los operadores de espín que cumplen esa relación? 2. No, el punto central del giro es que está ausente de las consideraciones clásicas. (Por supuesto, los operadores, siendo un representante de

s o (3)

$\mathfrak{so}(3)$ , todavía actúa como la base giratoria de algún espacio de Hilbert, pero tengo la sensación de que no te refieres a eso.

Michael Seifert

Es posible que desee leer sobre el tema general de la teoría de la representación, álgebras de Lie y grupos de Lie. Se ocupan (entre otras cosas) de tomar un conjunto de operadores que obedecen a un conjunto de relaciones de conmutación, construir un espacio vectorial abstracto en el que actúan y luego "exponenciarlos" (tanto como se exponen

L_{z}

$L_z$ obtener una rotación sobre el

z

$z$ -eje) para formar un grupo de transformaciones en ese espacio vectorial. El conjunto de rotaciones en tres dimensiones es solo un caso especial de este proceso.

Constantino negro

@ACuriousMind Hola. ¿Quiere decir en 1), que la definición de operadores de espín son las relaciones de conmutación? 2) En dos, eso es algo así como lo que tenía en mente.

Constantino negro

@MichaelSeifert Hola. Para el momento angular orbital, ¿probamos las relaciones de conmutación o las tomamos como definiciones? En la clase los hemos probado, y eso es lo que pienso. Si ese es el caso, después de haber leído la respuesta, ¿por qué un método como ese no se aplica al giro?

Michael Seifert

Desde la perspectiva de las álgebras de Lie, las relaciones de conmutación son fundamentales; cualquier conjunto de operadores que satisfaga estas relaciones es una realización de ese álgebra de Lie particular. Entonces podemos tomar un conjunto de operadores que actúan sobre algún espacio vectorial (como

L_{z} = - i ℏ (x \partial_{y} - y \partial_{x})

$L_z = -i \hbar (x \partial_y - y \partial_x)$ y así sucesivamente, actuando sobre el espacio de funciones de onda de Hilbert) y probar que satisfacen estas relaciones. Pero desde la perspectiva de las álgebras de Lie, lo que has probado es que estos operadores son una instanciación particular de las relaciones de conmutación, que son fundamentales.

Constantino negro

¿Y cómo las relaciones de conmutación (en física no en matemáticas) se vuelven fundamentales? ¿A través de observaciones experimentales?

Constantino negro

@MichaelSeifert ¿Alguna sugerencia para comenzar a leer tales temas (libros)? Gracias.

Respuestas (1)

Relaciones de conmutación de espín

1. ¿Qué quiere decir con "probar" el CR para $S_i$ ? ¿Cómo defines la $S_i$ si no como precisamente los operadores de espín que cumplen esa relación? 2. No, el punto central del giro es que está ausente de las consideraciones clásicas. (Por supuesto, los operadores, siendo un representante de $\mathfrak{so}(3)$ , todavía actúa como la base giratoria de algún espacio de Hilbert, pero tengo la sensación de que no te refieres a eso.
Es posible que desee leer sobre el tema general de la teoría de la representación, álgebras de Lie y grupos de Lie. Se ocupan (entre otras cosas) de tomar un conjunto de operadores que obedecen a un conjunto de relaciones de conmutación, construir un espacio vectorial abstracto en el que actúan y luego "exponenciarlos" (tanto como se exponen $L_z$ obtener una rotación sobre el $z$ -eje) para formar un grupo de transformaciones en ese espacio vectorial. El conjunto de rotaciones en tres dimensiones es solo un caso especial de este proceso.
@ACuriousMind Hola. ¿Quiere decir en 1), que la definición de operadores de espín son las relaciones de conmutación? 2) En dos, eso es algo así como lo que tenía en mente.
@MichaelSeifert Hola. Para el momento angular orbital, ¿probamos las relaciones de conmutación o las tomamos como definiciones? En la clase los hemos probado, y eso es lo que pienso. Si ese es el caso, después de haber leído la respuesta, ¿por qué un método como ese no se aplica al giro?
Desde la perspectiva de las álgebras de Lie, las relaciones de conmutación son fundamentales; cualquier conjunto de operadores que satisfaga estas relaciones es una realización de ese álgebra de Lie particular. Entonces podemos tomar un conjunto de operadores que actúan sobre algún espacio vectorial (como $L_z = -i \hbar (x \partial_y - y \partial_x)$ y así sucesivamente, actuando sobre el espacio de funciones de onda de Hilbert) y probar que satisfacen estas relaciones. Pero desde la perspectiva de las álgebras de Lie, lo que has probado es que estos operadores son una instanciación particular de las relaciones de conmutación, que son fundamentales.
¿Y cómo las relaciones de conmutación (en física no en matemáticas) se vuelven fundamentales? ¿A través de observaciones experimentales?
@MichaelSeifert ¿Alguna sugerencia para comenzar a leer tales temas (libros)? Gracias.

una mente curiosa · Answer 1

Parece confundido por cómo se introduce el giro en QM ordinario. Es más bien ad hoc:

Dado un espacio de Hilbert sin grados de libertad de espín de una partícula $\mathcal{H}_0$ , y el giro $s$ de la partícula, tomamos el espacio total de estados de la partícula como $\mathcal{H}_0\otimes \mathcal{S}_s$ , dónde $\mathcal{S}_s$ es un $2s+1$ espacio de Hilbert complejo -dimensional que lleva la única representación irreducible de $\mathrm{SU}(2)$ etiquetado por $s$ .

Por construcción, hay tres generadores anti-hermitianos. $T_i\in\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ actuando $\mathcal{S}_s$ cumpliendo las relaciones de conmutación

[T_{i}, T_{j}] = \sum_{k} ϵ_{i j k} T_{k}

$[T_i,T_j] = \sum_k\epsilon_{ijk}T_k$ de donde obtienes los operadores de espín hermitianos usuales al multiplicar por

i

$\mathrm{i}$ .

Para $s=1$ , el espacio $\mathcal{S}_1$ es tridimensional, y la acción del $T_i$ es solo una rotación de valor real alrededor de la $i$ -eje, pero, en general, las representaciones de $\mathrm{SU}(2)$ no son rotaciones, aunque pueden serlo, siempre que el mapa de representación $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{U}(2s+1)$ golpea solo las matrices ortogonales reales $\mathrm{O}(2s+1)\subset\mathrm{U}(2s+1)$ , lo que sucede para enteros $s$ .

@ConstantineBlack: Inicialmente, porque necesitábamos algo para explicar el experimento de Stern-Gerlach y esto funciona (por $s=1/2$ ). Hoy en día, uno diría que esto proviene de que QM es un caso límite no relativista de QFT, donde cada campo naturalmente tiene que transformarse en alguna representación del (cobertura universal del) grupo de Lorentz, y lo que queda del grupo de Lorentz en el el límite no rel es $\mathrm{SO}(3)$ , por lo que todo en QM debería/podría transformarse en una representación de $\mathrm{SU}(2)$ (siendo la tapa universal del grupo de rotación).

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