Operadores de giro en QM

Matemáticamente, los operadores de momento angular orbital y los operadores de momento angular de espín son en realidad dos caras de la misma moneda. En lenguaje de teoría de grupos, decimos que estos operadores surgen de dos representaciones diferentes del grupo de rotación$SO(3)$(para ser precisos, en mecánica cuántica nos interesan las representaciones proyectivas porque físicamente, dos vectores que difieren en una fase son indistinguibles. Esto requiere una representación de la doble cubierta de$SO(3)$, cual es$SU(2)$). El grupo codifica información sobre las simetrías del sistema y una representación del grupo en un espacio particular nos da una forma de realizar estas simetrías como operadores en nuestro espacio de estados.

La diferencia entre los operadores de espín y los operadores de momento angular es realmente en qué tipo de espacio vectorial operan. Sin embargo, el grupo tiene una cierta estructura asociada con él que se lleva a cabo en sus representaciones (Esto está relacionado con la estructura del Lie-álgebra de$SO(3)$,$\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$que puedo elaborar más tarde si lo desea). Por lo tanto, cualquier representación del grupo$SO(3)$tendrá las mismas relaciones de conmutación. Esto incluye extensiones a múltiples estados de partículas. Si denotamos el espacio de Hilbert de una sola partícula como$\mathcal{H}_1$y el espacio de un segundo como$\mathcal{H}_2$, entonces el espacio total que describe las dos partículas juntas se denota$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$. Esto no es más que un nuevo espacio vectorial que podemos representar$SO(3)$¡en!

Por lo tanto, cuando queremos hablar sobre el espín de un sistema de dos partículas, solo estamos hablando de una representación diferente de$SO(3)$. Hay algunas sutilezas involucradas en este procedimiento debido al hecho de que la representación en el espacio$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$no es irreductible . Sin embargo, la descomposición de Clebsh-Gordon nos da una forma de descomponer esta representación en una suma de representaciones reducibles. Este procedimiento da los coeficientes de Clebsch-Gordon que surgen cuando se habla de sistemas de partículas múltiples.

Acoplamiento de dos sistemas cuánticos que no interactúan$\:\alpha,\beta\:$con momentos angulares$\:j_{\alpha},j_{\beta}\:$(no importa si es orbital o de espín) llegamos a la siguiente ecuación para el momento angular$\:j\:$del sistema compuesto$\:f\:$

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}=\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\right) \tag{A-01} \end{equation}$$ que, por el$\:\mathbf{n}\:$-los componentes para ser más claros, se pueden expresar como

$$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}=\Bigl[\bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \bigr) \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}+ \mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \bigr)\Bigr] \tag{A-02} \end{equation}$$ En las ecuaciones anteriores el símbolo$''\boldsymbol{\otimes}''$se utiliza para el producto de vectores de estado, espacios u operadores. el vector$\:\mathbf{n}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right) \:$es de norma unitaria. los operadores$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}},\, J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\:$actuar sobre el$(2j_{\alpha}+1)$espacio de Hilbert -dimensional$\: \mathsf{H}_{\alpha}\:$del sistema$\:\alpha\:$y en las mismas condiciones los operadores$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\:$actuar sobre el$(2j_{\beta}+1)$espacio de Hilbert -dimensional$\: \mathsf{H}_{\beta}\:$del sistema$\:\beta\:$, el símbolo$\:\mathbb{I}\:$siendo utilizado para la identidad. Finalmente los operadores$\:\mathbf{J},\, J_{\boldsymbol{n}}\:$actuar sobre el$(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$espacio de Hilbert -dimensional$\: \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta}\:$del sistema compuesto$\:f\:$.

Escribimos la ecuación (A-02) para los tres ejes de un sistema de coordenadas

$$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\right) \tag{A-03a}\\ J_{\boldsymbol{2}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\right) \tag{A-03b}\\ J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{align}$$ Estas ecuaciones de tres componentes se pueden expresar simbólicamente en una ecuación vectorial $$\begin{equation} \mathbf{J}=\bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \right) \tag{A-04} \end{equation}$$ Ahora debemos comprobar si esta cantidad así construida$\:\mathbf{J}=\left({J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}\right) \:$del sistema compuesto es un momento angular constante y el criterio para esto es la validación de la ecuación $$\begin{equation} \mathbf{J}\boldsymbol{\times}\mathbf{J}= i \, \mathbf{J} \tag{A-05} \end{equation}$$ o por componentes $$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}}= i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-06a}\\ J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{3}}-J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{2}}= i \, J_{\boldsymbol{1}} \tag{A-06b}\\ J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{1}}-J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{3}}= i \, J_{\boldsymbol{2}} \tag{A-06c} \end{align}$$ Para probar las ecuaciones (A-06), encuentre una expresión general para$\:J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}\:$, dónde$\:J_{\boldsymbol{n}},\,J_{\boldsymbol{k}}\:$los componentes de$\:\mathbf{J}\:$paralela a los vectores unitarios$\:\mathbf{n}\:$y$\:\mathbf{k}\:$respectivamente. De la ecuación (A-01) y la siguiente regla de multiplicación $$\begin{equation} \left(\mathrm{A}_{2} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{2}\right)\left(\mathrm{A}_{1} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{1}\right)= \left( \mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{1}\right) \boldsymbol{\otimes} \left( \mathrm{B}_{2}\mathrm{B}_{1}\right) \tag{A-07} \end{equation}$$ tenemos $$\begin{align} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} & = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \left[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right)\right] \nonumber\\ & =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) \nonumber\\ & + \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr) \tag{A-08} \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) \tag{A-09} \end{equation}$$ permutación de$\:n\:$y$\:k\:$rendimientos $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) \tag{A-10} \end{equation}$$ Restar (A-10) de (A-09)

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}-J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}}= \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \tag{A-11} \end{equation}$$ Para$\:n=1\:$y$\:k=2\:$la ecuación anterior (A-11) da $$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}} & = \Bigl[\overbrace{\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}} }\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes} \overbrace{\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}}\Bigr] \nonumber\\ & = \Bigl[\Bigl(i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr] +\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(i\,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i\,\Bigl[\Bigl(J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-12} \end{align}$$ demostrando así (A-06a). Por permutación cíclica (A-06b) y (A-06c) también se prueban.

Para el tratamiento del momento angular hacemos uso de la ecuación (A-03c), repetida aquí por conveniencia:

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{equation}$$ Esta relación tiene la ventaja de que si las matrices que representan los componentes$\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$y$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$de los sistemas de componentes son diagonales, entonces la matriz que representa el componente$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$del sistema compuesto también es diagonal ⁽¹⁾ . Pero para el tratamiento completo del momento angular necesitamos la matriz que representa la cantidad$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}=J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{1}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{2}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{3}}\:$también. Encontraremos una expresión de$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}\:$conveniente para la determinación de su matriz, que no es desde la diagonal inicial como$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$hace. Entonces, insertando en la ecuación (A-09) el par de valores$\:(n,k)=(1,1)\:$,$\:(n,k)=(2,2)\:$y$\:(n,k)=(3,3)\:$tenemos respectivamente

$$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr) \tag{A-13a}\\ J_{\boldsymbol{2}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\Bigr) \tag{A-13b}\\ J_{\boldsymbol{3}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr) \tag{A-13c} \end{align}$$ Teniendo en cuenta que $$\begin{align} \bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} & =\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)\mathbb{I}_{\alpha} \tag{A-14}\\ \bigl( \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} &=\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\beta}(j_{\beta}+1) \mathbb{I}_{\beta} \tag{A-15}\\ \mathbb{I}_{\alpha} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\beta} & \equiv \mathbb{I}_{f}=\text{identity in } \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta} \tag{A-16} \end{align}$$ suma de ecuaciones (A-13) da como resultado $$\begin{equation} \mathbf{J}^{\boldsymbol{2}} =\bigl[ j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)+ j_{\beta}(j_{\beta}+1) \bigr] \mathbb{I}_{f} +2\sum_{q=1}^{q=3}\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{q}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{q}}\Bigr) \tag{A-17} \end{equation}$$

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^{(1) Más precisamente: de la definición del producto de operadores y dado que$\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$está representado por el$(2j_{\alpha}+1)$-matriz cuadrada}

$$\begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\alpha} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\alpha} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\alpha} \end{bmatrix} \tag{foot-01} \end{equation}$$ y$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$está representado por el$(2j_{\beta}+1)$-matriz cuadrada $$\begin{equation} J^{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\beta} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\beta} \end{bmatrix} \tag{foot-02} \end{equation}$$ la ecuación (A-03c) da que$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$está representado por la siguiente$(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$-matriz diagonal cuadrada $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \nonumber\\ \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \begin{matrix} j_{\alpha}+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha} -j_{\beta} \end{matrix} & & & \\ & \begin{matrix} j_{\alpha}-1+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha}-1-j_{\beta} \end{matrix} & & \\ & &\ddots & \\ & & & -j_{\alpha}-j_{\beta} \end{bmatrix} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \tag{foot-03} \end{equation}$$ Ejemplo: para$\:j_{\alpha}=\tfrac{1}{2}\:$y$\:j_{\beta}=1\:$ $$\begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}&0\\ &\\ 0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \:,\qquad J^{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc} +1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-04} \end{equation}$$
entonces $$\begin{equation} \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\\ &\\ 0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&-\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}} \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{1}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&+\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-05} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} 1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\\ &\\ 0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}} \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&+1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&-1 \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-06} \end{equation}$$ Sumando (pie-05), (pie-06) tenemos $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}} =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&+\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{3}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-07} \end{equation}$$
que después de la reorganización de filas y columnas se convierte en $$\begin{equation} \widehat{J}_{\boldsymbol{3}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{3}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&+\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-08} \end{equation}$$ reconocido más tarde como la suma directa de$\:j_{1}=\tfrac{1}{2}\:$y$\:j_{2}=\tfrac{3}{2}\:$ $$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{2}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{4} \tag{foot-09} \end{equation}$$ un caso especial de la expresión más general del espacio producto como la suma directa de subespacios mutuamente ortogonales e invariantes bajo SU(2) $$\begin{equation} (2j_{\alpha}+1)\boldsymbol{\otimes}(2j_{\beta}+1)=\bigoplus_{j=\vert j_{\beta}-j_{\alpha} \vert }^{j=\left(j_{\alpha}+j_{\beta}\right)}(2j+1) \tag{foot-10} \end{equation}$$

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Para un tratamiento más detallado, vea mis respuestas aquí: giro total de dos partículas de giro 1/2 .

Tanto el momento angular orbital como el giro están relacionados con rotaciones en tres dimensiones. . Sus relaciones de conmutación se pueden derivar solo de las propiedades del grupo de rotaciones, por lo que deberían ser iguales.

El conjunto de rotaciones del espacio tridimensional se conoce como$SO(3)$. Los estados cuánticos son vectores en un espacio.$V$sobre el cual este grupo tiene una representación (proyectiva). Esto significa que por cada rotación$R$hay un$n\times n$matriz$U(R)$($n$es la dimensión de$V$) de modo que cada estado cuántico$\left|\psi\right>$cambios a$U(R)\left|\psi\right>$cuando el sistema es rotado por$R$.

Quizá sepas que una rotación en dos dimensiones (el plano complejo) viene dada por la multiplicación por$e^{-i\theta}$, dónde$\theta$es el único parámetro que caracteriza una rotación del espacio bidimensional: el ángulo de la rotación. En tres dimensiones, una rotación puede ser parametrizada por el ángulo$\theta$y un vector unitario$\hat{u}$indicando el eje de rotación. Esto es equivalente a solo un vector.$\vec{u}=\theta\hat{u}$. Procediendo de la misma manera que en dos dimensiones, una rotación se puede escribir como

$$\begin{equation} U(\vec{u})=e^{-i\vec{u}\cdot \vec{J}} \end{equation}$$ donde ahora necesitamos tres objetos $J_x$, $J_y$y $J_z$(los componentes de $\vec{J}$), uno para multiplicar cada componente de $\vec{u}$. Ellos deben ser $n\times n$matrices, para hacer $U(R)$ser también una matriz de este tipo (la exponencial de las matrices se puede definir por su serie de potencias).

Observe que la derivada de una rotación de un vector 3d es ortogonal al eje de rotación y al vector mismo y es proporcional al vector, por lo que debe ser$\hat{u}\times \vec{v}$. Puedes imaginar$\vec{v}$como un punto en una esfera con radio$|\vec{v}|$, y$\hat{u}\times \vec{v}$como una flecha que comienza en ese punto y apunta en la dirección en la que se mueve cuando se gira.

Por otro lado$\frac{d}{d\theta}U(\theta\hat{u})= -i\hat{u}\cdot\vec{J}$, entonces, escribiendo los vectores de la representación tridimensional como$\vec{v}$en lugar de$\left|\psi\right>$tenemos la ecuacion$\hat{u}\times \vec{v}=(-i\hat{u}\cdot\vec{J})v$. Ahora deseamos calcular el conmutador$[J_x,J_y]$:

$$\begin{align} [J_x,J_y]\vec{v}=J_xJ_y\vec{v}-J_yJ_x\vec{v}= -\hat{x}\times(\hat{y}\times\vec{v}) + \hat{y}\times(\hat{x}\times\vec{v}) = -(\hat{x}\times\hat{y})\times\vec{v} = -\hat{z}\times\vec{v} = iJ_z\vec{v} \end{align}$$ donde he usado las propiedades del producto cruzado triple. Acabamos de derivar una de las relaciones de conmutación: $[J_x,J_y]=iJ_z$. Los demás siguen de la misma manera.

Los operadores de espín$S_x$,$S_y$,$S_z$y los operadores de momento angular orbital$L_x$,$L_y$,$L_z$ambos son solo los generadores$J_x$,$J_y$,$J_z$de rotaciones tridimensionales.

La única diferencia entre ellos es que el nombre gira (y la notación$S_i$) se refiere a las representaciones bajo$SO(3)$para estados de una sola partícula sin movimiento en el espacio, las rotaciones "internas", mientras que el nombre momento angular orbital (y los símbolos$L_i$) se usa comúnmente para las representaciones bajo$SO(3)$de estados de sistemas que tienen alguna extensión o algún movimiento en el espacio.

La combinación de representaciones. de rotaciones es nuevamente una representación de rotaciones, por lo que seguirá teniendo los mismos generadores con las mismas relaciones de conmutación. Esto es cierto para cualquier combinación, como los espines combinados del electrón y el protón, la combinación del momento angular orbital y el espín de una partícula o el momento angular para sistemas de múltiples partículas.

Tienes razón sobre las derivaciones con operadores de escalera. Puede usar el enfoque que conoce en todos los casos, porque se deriva de las relaciones de conmutación.

Los operadores de espín tienen las mismas relaciones de conmutación que los operadores de momento angular. La razón precisa es un poco sutil. La noción de espín y momento angular está relacionada con las propiedades bajo rotaciones de las funciones de onda. De hecho, los operadores de momento angular se pueden definir como los generadores de las rotaciones.

Las rotaciones en el espacio 3D forman el$SO(3)$grupo. Para poder hablar de rotaciones de un estado cuántico, necesitamos poder actuar con$SO(3)$en él de tal manera que se conserva la estructura del grupo (un homomorfismo de grupo). Ahora que los estados son vectores en un espacio de Hilbert, en realidad estamos pidiendo una representación del grupo$SO(3)$en el espacio de Hilbert. Las diferentes formas en que las rotaciones pueden actuar sobre el espacio de Hilbert corresponden a diferentes representaciones del$SO(3)$grupo. De la teoría de Lie, sabemos que encontrar la representación de$SO(3)$se reduce a encontrar representaciones para el álgebra de Lie$\mathfrak{so}(3)$. Esta álgebra de Lie contiene los generadores infinitesimales de las transformaciones en el$SO(3)$grupo.

Aquí surge una sutileza. Estamos viendo ahora las diferentes formas en que un estado cuántico (vector del espacio de Hilbert) puede transformarse bajo rotaciones, pero la física está realmente contenida en las amplitudes al cuadrado de los estados. Esta es realmente la cantidad sobre la que queremos saber cómo actuar con las rotaciones. Efectivamente, esto significa que estamos buscando representaciones proyectivas (o hasta una fase) de$SO(3)$. Sucede que estas son exactamente las representaciones para$SU(2)$. También sucede que el álgebra de mentira$\mathfrak{su}(2)$del grupo$SU(2)$es isomorfo a$\mathfrak{so}(3)$. Es por eso que en muchos libros de texto simplemente construyen representaciones para el álgebra de Lie y el giro aparece mágicamente. La verdadera razón es que en realidad estamos buscando representaciones proyectivas de$SO(3)$que incluye las representaciones de espín. Esta es también la razón por la que el giro aparece también en QM no relativista, ya que el grupo de invariancia de Galileo incluye el grupo de rotación. ¡El giro no es un fenómeno relativista!

En cualquier caso, dado que estos dos grupos tienen la misma álgebra de Lie, las relaciones de conmutación para sus generadores infinitesimales serán las mismas, lo que permite lo que se hace en su libro de texto.

Con respecto a tu segunda pregunta, es un poco complicado. Dado que el espacio de Hilbert para sistemas compuestos está dado por el producto tensorial de ambos subespacios, ahora tenemos que considerar el producto tensorial de las representaciones. Per se, esto no es una representación y no debería haber ningún modo de actuar en este espacio con un operador de giro. Sin embargo, queremos que el sistema compuesto también sea una representación proyectiva del grupo de rotación$SO(3)$. Lo que realmente estamos pidiendo es que$\mathfrak{su}(2)$se puede convertir en una bi-álgebra. Dado que naturalmente es biálgebra, existe una operación (realmente un homomorfismo), llamada coproducto,$\Delta$, que mapea:

$\Delta:\mathfrak{su}(2) \longrightarrow \mathfrak{su}(2)\otimes\mathfrak{su}(2),$

permitiéndonos ver los productos tensoriales de representaciones como una representación. Dado que este mapa es un homomorfismo, conserva la estructura algebraica y, por lo tanto, las relaciones de conmutación. Esta es la razón precisa detrás de la unicidad de las relaciones de conmutación para cualquier operador de espín y, en consecuencia, por qué surgen las mismas ecuaciones de valores propios. El enfoque del operador de escalera se basa únicamente en la estructura algebraica de los operadores de espín y, como tal, es igualmente válido cuando se utiliza para sistemas compuestos.

La razón por la que aplicamos los operadores en uno, y por separado, el otro elemento no es solo una definición o por intuición física. Es porque este coproducto está actuando sobre elementos primitivos y no está torcido, es decir$\forall X \in \mathfrak{su}(2)$:

$\Delta(X)=X\otimes 1 + 1 \otimes X,$

que conduce a su$S = S_1 + S_2$. Existe una conexión profunda entre esta forma del coproducto y las estadísticas de las partículas en cuestión. La forma simple anterior está relacionada con la simetría bajo las permutaciones de partículas idénticas. En 3+1 dimensiones, todo sistema compuesto se puede describir en términos de bosones y fermiones, obedeciendo a las dos estadísticas estándar. Como tal, en la mayoría de los casos, esperamos esta forma para el coproducto. Sin embargo, en sistemas confinados en 2 o 1 + 1 dimensiones, son posibles estadísticas más exóticas. En estos casos exóticos, el coproducto no siempre tiene esta forma (por ejemplo: Anyons, Parabosons/Parafermions) y confiar solo en la intuición puede desviarnos al considerar sistemas compuestos.

Es interesante una observación final sobre las diferentes bases de un espacio de espín compuesto. De hecho, una base del espacio compuesto$H_1\otimes H_2$ahora se puede dar ya sea especificando vectores propios en ambos subespacios del producto tensorial (esto equivaldría a especificar el espín de cada partícula en el sistema compuesto) o, viendo el todo como una representación, especificando los vectores propios totales (esto corresponde a especificar el giro total espín del sistema compuesto). El elemento de la matriz entre esas dos bases se denomina coeficientes de Clebsch-Gordan y se usa a menudo cuando se trata de sistemas compuestos.

Estás leyendo a Griffiths, así que trataré de mantenerme dentro de su vocabulario, pero para responder a tu pregunta quizás debo presentar algún formalismo que Griffiths no incluye.

En general, esta es la historia. Matemáticamente, construimos un$N$sistema de partículas de partículas que no interactúan pero tomando el producto directo de cada espacio de Hilbert$\mathcal{H}_i$como$i$va de 1 a$N$(un espacio de Hilbert para cada partícula). Cada uno de estos espacios es completamente independiente el uno del otro y satisface la conocida relación de conmutación.

$$\begin{align} [S_{k}^{(i)},S_{l}^{(j)}]=i\hbar\epsilon_{klm}\delta_{ij} \end{align}$$ donde el $i$multiplicando $\hbar$es la unidad imaginaria. En resumen, cada partícula tiene su propio espacio de Hilbert, cada uno de los cuales satisface las relaciones habituales de conmutación del momento angular y los operadores de escalera definidos.