¿Son todos los números trascendentales un cero de una serie de potencias?

Entonces me encontré con el concepto de extender la noción de irracionalidad a polinomios de mayor grado. El caso base de esto es la irracionalidad estándar. Es decir, un número es irracional si no se puede expresar como la razón de dos enteros. Esto equivale a que no se pueda expresar como raíz de una ecuación lineal con coeficientes enteros:

r = pag q → q r − pag = 0

dónde pag , q ∈ Z .

2 es un ejemplo de un número que no puede satisfacer lo anterior. Por lo tanto, es irracional. Sin embargo, podemos extender esta condición a polinomios cuadráticos:

a X 2 + b X + C = 0

2 satisface lo anterior dado a = 1 , b = 0 y C = − 2 . Así en este esquema 2 seria un 1 irracional de primer grado.

(Creo que el grado de irracionalidad ya es un término en matemáticas. ¿Es equivalente a lo que estoy hablando? Si no lo es, podemos usar algo como "nivel 1 irracional".)

Y en general un norte Un número irracional de º grado es un número real que se puede expresar como un cero de un norte polinomio de grado y no un norte + 1 polinomio de grado (Esto es para que cada número tenga un grado único de irracionalidad).

Esto nos lleva a los números trascendentales, que no son la solución de ningún polinomio de grado finito con coeficientes enteros. Esta es su definición. Esto me lleva a mi pregunta:

¿Es un número trascendental un número real cuyo grado de irracionalidad es infinito (o tal vez contablemente infinito si esa distinción es relevante o incluso válida)? Entonces, ¿cualquier trascendental (y cualquier real como resultado) es la raíz de una serie de potencias con coeficientes enteros (centrados en 0)?

¿O es un número trascendental un número que simplemente no es la solución de ningún polinomio de grado finito? Esta parecería ser una declaración más débil que la anterior.

(Probablemente desee solo series de potencias centradas en 0 con coeficientes enteros).
Tienes razón, lo cambié.
En tu cuadrático, con c=-4, las raíces son 2 y -2. Si quieres √2 para una raíz, cámbialo a c=2.
Ups, tienes razón, lo cambié. Aunque creo que te refieres C = − 2 .

Respuestas (1)

Lo que llamas el "grado de irracionalidad" de un número es el grado de su polinomio mínimo sobre q , a veces llamado el grado del número sobre q . Este concepto se define y explora en la teoría de campos.

Todo número real es la raíz de una serie de potencias con coeficientes enteros.

Sólo los números reales en ( − 1 , 1 ) . Los números trascendentales fuera de este rango no pueden ser raíces de series de potencias porque sus potencias se vuelven cada vez más grandes, por lo que los sumandos en cualquier serie de potencias no pueden converger a 0 y, por lo tanto, la suma no converge.
@alphacapture ¿no puedes obtener una serie centrada en un número diferente? C (es decir ∑ norte = 1 ∞ k norte ( X − C ) norte ? ¿O esto ya no cuenta como "coeficientes enteros"?
Entonces, ¿son todos los números trascendentales la raíz de una serie de potencias con coeficientes enteros pero no necesariamente centrada en cero? ¿Pero no se puede remediar esto expandiendo el binomio? A menos que esto se convierta en un problema en una serie infinita...
@alphacapture Creo que este problema desaparece si permite coeficientes racionales, que es probablemente la pregunta más interesante aquí.
@PaŭloEbermann Supongo que si eso cuenta como una serie depende de si el OP quiere permitir series centradas en otros puntos. OzanerHansha No puedes expandirlo porque necesitarías una suma infinita para encontrar cada uno de los coeficientes, y la suma infinita en cuestión no necesariamente converge.
¿Son todos los números trascendentales un cero de una serie de potencias?
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