Estados de una partícula en espaciotiempos curvos

En QFT en Minkowski Spacetime es habitual vincular los estados de una partícula a representaciones unitarias del grupo de Poincaré.

El argumento, que se puede ver en el libro QFT de Weinberg, es más o menos el siguiente: el espacio-tiempo de Minkowski tiene el grupo de Poincaré como su grupo de isometría. Por los postulados de la relatividad especial, esperamos que el grupo de Poincaré$\mathfrak{P}(1,3)$sea ​​un grupo de simetría para una teoría cuántica compatible con la relatividad especial.

Esto lleva, por el teorema de Wigner, a que si$\mathfrak{H}$es el espacio de Hilbert de una teoría cuántica con tales simetrías, existirá una representación proyectiva lineal unitaria$\pi : \mathfrak{P}(1,3)\to GL(\mathfrak{H}).$

Weinberg entonces asume que$\pi$es en realidad una representación y no proyectiva (lo que implica que la fase es cero).

En ese escenario, muestra que la presencia de esta representación lleva a la existencia de los operadores de momento y momento angular$P^\mu, J^{\mu\nu}$.

Entonces, a partir de la presencia de la simetría de Poincaré, el espacio de estado de una partícula tiene los observables que esperaríamos para describir partículas. Luego, en la forma estándar de cuantificar los campos, construimos el espacio de Fock necesario sobre este espacio de partículas.

No en QFT en espaciotiempos curvos, siguiendo la ruta algebraica, tenemos en$\ast$-álgebra$\mathfrak{A}$y los estados son funcionales normalizados positivos$\omega : \mathfrak{A}\to \mathbb{C}$. Cada estado genera una representación del espacio de Hilbert a través de la construcción GNS.

Ahora resulta que dado el llamado estado gaussiano $\omega$, la representación GNS generada tiene como espacio de Hilbert un espacio de Fock y$\omega$se mapea en el vacío. Los de Minkowski Spacetime QFT pueden verse como casos especiales de esto.

Pero hay una advertencia aquí: según tengo entendido, una representación del espacio de Fock sugiere una imagen de "número variable de partículas". Ahora, en el caso del espacio-tiempo de Minkowski, la simetría de Poincaré del fondo, cuando se requiere de la representación, conduce a un espacio de Fock sobre un espacio de una partícula que tiene momentos y momentos angulares observables naturalmente .

Ahora, en esta imagen general de estado gaussiano en espaciotiempos curvos, tenemos un espacio de Fock. Pero no puedo ver cómo el espacio de una partícula tiene momentos y momentos angulares observables naturalmente. Sin estos, ¿cómo podríamos interpretar los estados como estados de partículas?

Entonces, mi pregunta aquí es: ¿cómo interpretamos la imagen del espacio de Fock derivada de los estados gaussianos en el espacio-tiempo curvo QFT si carecemos de simetría de Poincaré? ¿Cómo aparecen los momentos y los momentos angulares como observables en el espacio de estado relacionado de una partícula, si no como generadores de traslaciones y rotaciones?