¿Son los difeomorfismos un subgrupo adecuado de transformaciones conformes?

Un difeomorfismo general no forma parte del grupo conforme. Más bien, el grupo conforme es un subgrupo del grupo difeomorfismo. Para que un difeomorfismo sea conforme, la métrica debe cambiar como,

$$g_{\mu\nu}\to \Omega^2(x)g_{\mu\nu}$$

y solo entonces puede considerarse una transformación conforme. Además, todos los grupos conformes son grupos de Lie, es decir, con elementos arbitrariamente próximos a la identidad, aplicando transformaciones infinitesimales.

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Ejemplo: Grupo conforme de la esfera de Riemann

El grupo conforme de la esfera de Riemann, también conocido como el espacio proyectivo complejo,$\mathbb{C}P^1$, se llama el grupo de Möbius. Una transformación general se escribe como,

$$f(z)= \frac{az+b}{cz+d}$$

para$a,b,c,d \in \mathbb{C}$satisfactorio$ad-bc\neq 0$.

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Ejemplo: Plano$\mathbb{R}^{p,q}$Espacio

Para el espacio euclidiano plano, la métrica viene dada por

$$ds^2 = dz d\bar{z}$$

donde tratamos$z,\bar{z}$como variables independientes, pero la condición$\bar{z}=z^{\star}$significa que estamos realmente en la porción real del plano complejo. Una transformación conforme toma la forma,

$$z\to f(z)\quad \bar{z}\to\bar{f}(\bar{z})$$

que es simplemente una transformación de coordenadas, y la métrica cambia por,

$$dzd\bar{z}\to\left( \frac{df}{dz}\right)^{\star}\left( \frac{df}{dz}\right)dzd\bar{z}$$

según sea necesario para garantizar que sea conforme. Podemos especificar un número infinito de$f(z)$, y por lo tanto un número infinito de transformaciones conformes. Sin embargo, por lo general$\mathbb{R}^{p,q}$, este no es el caso, y el grupo conforme es$SO(p+1,q+1)$, para$p+q > 2$.

Sé que este tema tiene 6 años, pero recién lo encontré, siento la necesidad de aclarar algunas confusiones al respecto, comenzando por la pregunta, pasando por la respuesta aceptada y los comentarios posteriores. La mayor parte de esta confusión surge de dos nociones diferentes pero similares, la de una transformación conforme y la de una isometría conforme.

Permítanme aclarar (sigo el libro de relatividad general de Wald, apéndice D sobre transformaciones conformes): en el contexto de la relatividad general (al que se refiere el OP) una transformación conforme de parámetro$\Omega:M\to \mathbb{R}$($\Omega(p)>0\forall p$) (por otros autores llamada transformación de Weyl ) de un espacio-tiempo$(M,g)$da otro espacio-tiempo$(M,g^\prime)$donde la métrica$g^\prime$está relacionado con$g$por

$$g^\prime=\Omega^2 g$$ y las teorías cuyas predicciones son invariantes bajo esta operación se dice que son conformemente invariantes , o que poseen simetría de Weyl . Según esta definición, una transformación conforme no tiene nada que ver con el grupo de difeomorfismos$\phi:M\to M$, de hecho, cualquier atlas (léase conjunto de sistemas de coordenadas) que usemos para cubrir$M$, esto no cambia con la transformación conforme (recuerde que una variedad$M$se define esencialmente como un espacio topológico con un atlas cubriéndolo, mientras que la métrica de un espacio-tiempo es una estructura adicional impuesta a una variedad: cambiar la métrica a través de una transformación conforme no le hace nada a la variedad).

Entonces, si OP se refiere a una transformación conforme/Weyl, la respuesta a su pregunta es: el grupo de transformaciones conformes de la métrica y el grupo de difeomorfismos son dos grupos diferentes, y ninguno de los dos es un subgrupo del otro.

En particular, observe que un tensor dado$T$transformar bajo una transformación conforme de la métrica solo a través de su dependencia funcional de la métrica: si$T=t(g)$en el espacio-tiempo$(M,g)$, entonces en el espacio-tiempo$(M,g^\prime)$tenemos

$$T^\prime = t(g^\prime) = t(\Omega^2 g)$$ y la relación real entre$T$y$T^\prime$depende de la forma funcional real de$t(g)$, más que en la estructura tensorial de$T$(como sería el caso si una transformación conforme fuera un difeomorfismo particular).

Diferente es la historia de las isometrías conformes : una isometría conforme es de hecho un tipo especial de difeomorfismo, uno para el cual el retroceso de la métrica en un punto$p$es dado por

$$\phi_\star g_{\phi(p)} = \Omega^2(p) g_p$$ Al ser una isometría conforme un difeomorfismos, transforma todos los tensores según su estructura tensorial. En relación con la pregunta OP, el grupo de isometrías conformes es un subgrupo del grupo de difeomorfismos de M.

Con respecto al último punto en la pregunta OP: la Relatividad General no es "invariante bajo transformaciones conformes", pero en realidad ni siquiera es "invariante bajo difeomorfismos" y tampoco es "invariante bajo ninguna isometría". Más bien, sus ecuaciones son de naturaleza tensorial (están en la forma$T=0$para algún tensor$T$), por lo tanto, su validez se conserva bajo la acción de todos los difeomorfismos, incluidas todas las isometrías y todas las isometrías conformes:

$$\phi_\star T=0 \iff T=0$$ Ahora bien, de acuerdo con el principio de covarianza general, y si no se tienen en cuenta los fermiones, la métrica$g$es la única cantidad geométrica que puede entrar en las ecuaciones de la relatividad general, pero esto no significa que cada una de estas ecuaciones sea invariante bajo isometrías: esto no es cierto ni siquiera para la ecuación de campo de Einstein $$G=8\pi T$$ porque el tensor de Einstein$G$y el tensor de energía de tensión$T$son tensores de rango (0,2).

El último punto que quiero cubrir es la confusión que surgió en los comentarios con respecto a la relación entre difeomorfismos y cambios de coordenadas. Primero, un difeomorfismos$\phi:M\to M$mapas de puntos de$M$a otros puntos de$M$(punto de vista activo), y se define como un homeomorfismo que conserva la estructura suave de$M$. Como tal, envía cartas y atlas de$M$a otras cartas y atlas de$M$de forma suave e invertible (si$\varphi : U\subset M \to \mathbb{R}^k$es un gráfico,$\phi|_U \circ \varphi$en otro, etc), induciendo así un cambio de coordenadas (visión pasiva). En la otra dirección, un cambio suave de coordenadas es precisamente aquel que envía un atlas que cubre$M$a otro de manera suave e invertible, induciendo así un mapa suave e invertible entre puntos de$M$. Entonces, en realidad, los difeomorfismos y los cambios de coordenadas están en correspondencia 1 a 1, siempre que los cambios de coordenadas "no olviden cubrir algunos puntos de$M$", es decir, asignan atlas a atlas, no simplemente cartas a cartas. Si un cambio de coordenadas dado "olvida algunos puntos", este cambio de coordenadas solo inducirá un difeomorfismo local.