¿Cuál es el significado de la invariancia conforme de la electrodinámica en una formulación covariante?

Estoy confundido sobre el papel de las transformaciones de simetría en una formulación covariante.

Se puede demostrar que las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo transformaciones conformes. Ver, por ejemplo, aquí: https://arxiv.org/abs/hep-th/9701064 Entonces, uno diría que el grupo de simetría (el grupo de operaciones bajo las cuales un objeto permanece sin cambios) de las ecuaciones de Maxwell es el grupo conforme.

Sin embargo, en el marco de la relatividad general, cualquier teoría que se formule de forma covariante es invariante bajo transformaciones de coordenadas generales. Según tengo entendido, una transformación de coordenadas general es cualquier difeomorfismo (mapa suave invertible con inverso suave) entre coordenadas. Por lo tanto, si entiendo correctamente, una transformación conforme (que es una transformación de coordenadas que cambia la métrica solo hasta un factor general) también debería ser una transformación de coordenadas general.

¿No significaría esto que el grupo de simetría de cualquier teoría que se formula de forma covariante es el grupo de todas las transformaciones de coordenadas generales? Si es así, ¿queda algo especial en el hecho de que las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo transformaciones conformes? ¿O sería el único hecho especial que esta simetría incluso se mantiene en una formulación no covariante?

EDITAR: En fórmulas, mi entendimiento actual es que bajo una transformación de coordenadas general

$$\begin{equation} x \rightarrow x'(x), \end{equation}$$ ecuaciones de maxwell $$\begin{equation} \nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu,~\nabla_{[\mu}F_{\nu\lambda]}=0 \end{equation}$$ cambiar como $$\begin{equation} \nabla_\mu' {F'^{\mu\nu}}=J'^\nu,~\nabla_{[\mu}'F'_{\nu\lambda]}=0. \end{equation}$$ ¿Y cambiarían así bajo, por ejemplo, una transformación conforme o, por ejemplo, una transformación galileana? Si es así, ¿hay alguna forma de diferenciar estas transformaciones de las transformaciones de coordenadas?

EDIT 2: Desafortunadamente, la respuesta a continuación todavía no responde completamente a mi pregunta. La razón es que necesito una declaración matemáticamente precisa de por qué una transformación conforme es o no diferente de una transformación de coordenadas general.

Digamos que tenemos una transformación de coordenadas, inducida por un difeomorfismo$f:M\rightarrow M$dónde$M$es nuestra variedad de espacio-tiempo que induce un retroceso en la métrica y sus campos vectoriales. Si es correcto lo que está escrito en la respuesta a continuación (que una transformación de coordenadas no cambia expresiones como$v^i v^j g_{ij}$), entonces debería inducir el retroceso

$$\begin{equation} (f^*)^{(-1)}g(f_* X,f_* Y)|_p = g_p(X_p, Y_p), \end{equation}$$ que dejaría $g(X,Y)$invariante.

Ahora digamos que tenemos una transformación conforme (o rotación o Lorentz trf, etc.) que se define como un difeomorfismo que deja la métrica invariante hasta un factor general, entonces, ¿esto significa que esta transformación solo actúa en la métrica como

$$\begin{equation} f^*g(X,Y)|_p=g_p(f_* X_p, f_* Y_p)=\Omega(p) g_p(X_p,Y_p)? \end{equation}$$ Si es así, no sé por qué el difeomorfismo no debería afectar $X$y $Y$directamente también? ¿Hay alguna razón para la falta de acción en los campos vectoriales? ¿O hay una acción sobre los campos pero hay otra forma diferente en la que actúan las transformaciones en general?